量子力學與統計物理

Quantummechanicsandstatisticalphysics光電信息學院李小飛第五章：求解定態薛定諤方程第三講：勢壘貫穿

（量子隧道效應）

1962年，年僅22歲（研究生）的BrianJosephson（猶太人）通過量子理論計算表明：中間用薄絕緣體隔開的兩超導體之間存在電流，這種宏觀的量子效應在其后幾年就被實驗測量到。獲1973年諾貝爾物理學獎Josephson

Junction絕緣體電子波遇到勢壘而產生的干涉和隧穿效應1、計算過程特點：(1)勢壘，波函數在無窮遠處不為零，是擴展態，能譜連續(2)經典力學：若E<U0,則粒子不能進入勢壘,在x=0處全被彈回若E>U0,則粒子將穿過勢壘運動。量子力學：由于粒子的波動性，此問題將與光透過一層介質相似，總有一部分穿過勢壘。因此，計算的重點

是透射系數。

（１）方型勢壘0aU(x)

U0IIIIIIＥE>U0的情形令

0aU(x)U0IIIIIIE（３）定態薜定諤方程(經過整理)（2）哈密頓算符（４）解方程向右傳播的入射波向左傳播的反射波由左向右的透射波因Ⅲ區無由右向左傳播的平面波，故分區取解則方程變為方程的求解過程消去與,并設Ａ已知：由波函數的連續性條件

可得透射波振幅與入射波振幅

間的關系（4）定系數：利用概率流密度公式:求得入射波的概率流密度

透射波的概率流密度

反射波的概率流密度

（5）

以及反射波振幅與入射波振幅

間的關系

為了定量描述入射粒子透射勢壘的概率和反射概率，定義透射系數和反射系數。透射系數（6）反射系數（7）以上二式說明入射粒子部分地隧穿勢壘

到達第III區域，另一部分則被勢壘反射回來Ｉ區。表明概率守恒定義透射系數和反射系數當然，上述結果對Ｅ-U0<0的情況也成立Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是實數其中

是虛數在(6)和(7)式中，把換為

，得：E<U0的情形這說明，即使，也有大于零的透射系數。這種粒子能夠穿透比它動能還要高的勢壘而不失去能量的現象稱為量子隧道效應（tunneleffect）.它是粒子具有波動性的生動表現。0aV0透射波x透射系數:

反射系數:

因與

同數量級，

則

故4可忽略于是透射系數1.低能粒子穿透表明

隨壘寬

和壘高

的增大而成指數減小。當很小，或U0>>E，而

又不太小時，有k3a>>1，則（５）討論例:入射粒子為電子：設E=1eV,V0=2eV,a=2×10-10m=2?，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5?，則T≈0.024，可見透射系數迅速減小。質子與電子質量比

μp/μe≈1840。對于a=2?

則T≈2×10-38。可見透射系數明顯的依賴于粒子的質量和勢壘的寬度。量子力學提出后，Gamow首先用勢壘穿透成功的說明了放射性元素的α衰變現象。若入射粒子換成質子：α衰變的理論解釋1928年，喬治·伽莫夫解釋原子核α衰變的模型，借助這模型，導引出粒子半衰期與能量關系的方程式透射系數

2.共振輸運３.任意形狀的勢壘可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘，這些小勢壘可以近似用方勢壘處理。對每一小方勢壘透射系數0a

bU(x)則貫穿整個勢壘的透射系數等于貫穿這些小方勢壘透射系數之積，即此式的推導雖不太嚴格，但與嚴格推導的結果一致。dx４.場致發射（冷發射）

欲使金屬發射電子，可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就是我們所熟知的熱發射和光電效應。

但是，施加一個外電場，金屬中電子的所感受到的電勢如圖(b)所示。金屬中電子面對一個勢壘，能量最大的電子就能通過隧道效應穿過勢壘漏出，從而導致所謂場致電子發射。圖（b）圖（a）５.隧道二極管1957年江崎玲於奈發明隧道二極管。它是高摻雜半導體形成的窄的PN結；

這種電流隨電壓增大反而變小的現象稱為負微分電導效應１９７３年諾貝爾物理學獎當加前向偏壓時,N區電子可以通過隧道效應，穿過禁帶進入P區空帶。隨偏壓增大，隧道電流變大；隨后到達極大值然后逐漸下降（因為可進入空態減少），最后下降到零（空態沒了）氮摻雜石墨烯產生負微分電導行為的物理機理Xiao-FeiLietal.Half-filledenergybandsinducednegative

differentialresistanceinnitrogen-dopedgraphene(2015)Nanoscale,IF(6.7)６.閃存與固態硬盤利用量子隧道效應進行穿隧注入(Tunnelinjection)寫入，以及穿隧釋放(Tunnelrelease)抹除,可實現信息的讀寫。他在1984年舊金山IEEE國際電子會議宣讀了自己的發現，

Intel于會者看到了它的巨大潛力，于1988年推出第一款商業性閃存…,現在的閃存市場：268億

舛岡富士雄博士在東芝公司工作期間，通過理論計算發現：(ScanningTunnelingMicroscope)７.掃描隧穿顯微鏡（STM）

S—樣品和針尖間的距離U

—加在樣品和針尖間的微小電壓A

—常數

—平均勢壘高度隧道電流公式05090307010(nm)硅晶體表面的STM掃描圖象神經細胞的STM掃描圖象單原子搬運，白春禮先生（中科院院長）鑲嵌了48個

Fe原子的Cu

表面的掃描隧道顯微鏡照片。48個Fe

原子形成“電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波世界上第一次測量到波函數形態

1986年度的諾貝爾物理獎由賓尼、羅赫爾與魯斯卡三人分享。

前兩者就是掃描隧穿顯微鏡的直接發明者，（魯斯卡是1932年電子顯微鏡的發明者，這里只是為了追朔他的功勞）羅赫爾賓尼魯斯卡例1：0U(x)U0III作業1：作業２：作業３：已知核的勢能曲線如圖，計算α粒子的透射系數加５分１.2.電子通過單一勢壘時，透射系數一般很小，但是在通過雙勢壘時，卻可以出現透射系數為100%的情況，稱為共振隧穿，試研究這種情況并給出共振隧穿發生的條件加５分附錄１：了解納米與分子電子學附錄２：1.方勢阱的透射與共振：入射粒子E>0，勢阱深度-V0，寬a。求透射系數T，并討論T的極大，極小條件。解：E-V0oax當粒子能量E入射高度為u0的勢壘(E>u0)時，透射系數為：，其中此公式也適用于勢阱的透射，只須改定義即在k′表達式中以-V0替代勢壘高度u0。討論:(1)V0=0時，k′=k，T=1，此時無勢阱。T=1驗證公式正確(2)V0≠0時，T<1，粒子不能以100％的幾率透過勢阱，有一定的幾率被反射，這是量子力學特有的效應。(3)當，即，T=1，取極大值