關于生產與貯存的模型控制

問題提出

一家集生產，銷售于一體的公司，希望生產率和貯存量都盡量穩定在預先設定的水平上，如果銷售量可以預測，公司需要指定一個根據貯存量控制生產率的策略。

（1）

以在一定時間T內生產率和貯存量與設定值誤差的（加權）平方和最小為目標，給出泛函極值問題。

（2）

設銷售量為常數，求出最優解，并在T很大的情況下給出生產率和貯存量之間的關系。

問題分析

對于本題，可以根據題目的相關要求先列出目標函數，對于給出的泛函極值問題，利用變分法來解決生產與貯存的泛函極值問題，從而建立一個根據貯存量控制生產率的模型。根據相關的假設和考慮到的實際情況,得出貯存量的最優狀態方程和生產率的最優控制方程，并且由求得的這兩個方程進一步得出在穩定情形下生產率和貯存量之間的關系。建立模型

在[0,T]內,記時刻t的貯存量為x（t），生產率(即單位時間的產量)和銷

售量分別為u（t）和V（t），則它們應滿足：

（1）

其中V（t）在每個時刻是可以預測的。

假設預先設定的生產率（即單位時間產量）和貯存量分別為u0和x0，使生產率u（t）和貯存量x（t）盡量分別穩定在u0和x0的水平上，建立模型

用數學式子可以表示為，求控制函數u（t）使

（2）

達到最小值，其中T是任意給定時間，α是加權因子，用來調節u（t）和x（t）穩定二者之間的重要程度，并應具有時間倒數的量綱，即隨著時間t的增大α則隨之減小。（2）式稱為二次型目標函數。建立模型

在（1）（2）中貯存量x（t）是狀態函數，為確定起見不妨設t=0,t=T時貯存量為零，即：

（3）

另外實際上對生產率和貯存量都會有所限制，不妨記作：

（4）

問題歸結為在約束條件（1），（3），（4）下求使（2）式之泛函J達到最小值。

從（1）式中解出u（t）代入（2）式，并將其寫成X（t），的泛函

（5）建立模型

暫不考慮條件（4），則（3），（5）構成一個固有端點的泛函極值問題，可用變分法求解。得到最優解X(t),再代入方程（1）中即可得到最優控制函數。

當銷售量為常數時,

為簡化求解過程，設

（6）

下面我們用變分法求方程（5）的最優解。

令：

以（6）式代入（5）式，根據歐拉方程

可以得到最優解x（t）應滿足方程：

即：

（7）建立模型

設方程（7）的解為

則顯然，

根據初值（3）可解得

,

所以方程（7）在端點條件（3）下的解為：

（8）

把（8）代入（1）可得：

（9）

上述兩式分別為最優狀態函數和最優控制函數。

建立模型

為了研究最優解u（t）和x（t）之間的關系，由(9)和（8）兩式可以得到:

（10）

令T→∞,則對任意有限的t，上式右端組后一項趨于零，于是有：

（11）

最后考察約束條件（4），利用雙曲函數

,

建立模型

可以將(8)(9)兩式重新表示為：

（12）

（13）

根據（12）(13)式下圖畫出了最優解x（t）和u（t）的示意圖

建立模型

由圖可以看出可以看出，只要

就有

即x（t）滿足條件（4）。

而給出的參數Xm，X0自然應該有

另一方面，因為：

所以只要：

有：

建立模型

在這樣的條件下(8)(9)兩式給出的x（t），u（t）也是考慮到約束條件（4）的原問題的最優解，因為在約束條件的邊界上泛函極值問題（3）（5）不可能得到優于(8)(9)的解。但是，如果(8)(9)表示的x（t），u（t）越出了條件（4）的限制，模型求解將會變得十分復雜，變分法會無能為力。

模型的評價

優點：從此模型中我們可以根據狀態x(貯存量)直接控制函數u(生產率)，而不涉及自變量t（時間），并且當x增加時u減少，這種控制方式稱為狀態負反饋，它比形如（9）式的顯含t的控制函數應用起來方便得多，因為只需要根據