1.2.2基本初等函數的導數公式與導數的運算法則第三課時導數的運算法則一、課前準備1.課時目標1.能運用函數四則運算的求導法則，求常見函數四則運算的導數；2.能運用復合函數的求導法則，求簡單的復合函數的導數；3.能綜合利用導數的公式和運算法則解決簡單的綜合問題。2.基礎預探1.(1)[f(x)±g(x)]′＝________.(2)[f(x)·g(x)]′＝________.(3)[eq\f(f(x),g(x))]′＝________.2.由幾個函數復合而成的函數，叫復合函數，函數y＝f[φ(x)]是由________和________復合而成的．3．設函數u＝φ(x)在點x處有導數u′x＝φ′(x)，函數y＝f(u)在點x的對應點u處有導數y′u＝f′(u)，則復合函數y＝f[φ(x)]在點x處也有導數，且y′x＝________，或寫作f′x[φ(x)]＝________.二、學習引領1．對導數的運算法則的理解(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，即兩個函數的和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．即兩個函數積的導數，等于第一個函數的導數乘上第二個函數，加上第一個函數乘上第二個函數的導數．特別的，[cf(x)]′＝cf′(x)即常數與函數的積的導數，等于常數乘函數的導數．(3)[eq\f(f(x),g(x))]′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)即需記憶如下幾個特征：兩個函數商的導數，其分母為原分母的平方；分子類似乘法公式，中間用減號鏈接，f′(x)g(x)減去含分母導數f(x)g′(x)的式子。特別地，當f(x)＝1時，有[eq\f(1,g(x))]′＝－eq\f(g′(x),[g(x)]2).2.復合函數求導應注意的問題(1)分清復合函數的復合關系是由哪些基本函數復合而成，適當選擇中間變量．(2)分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中要特別注意中間變量的系數．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.(3)根據基本初等函數的求導公式及導數的運算法則，求出各函數的導數，并把中間變量換成自變量的函數．如求y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的導數．設y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，則y′x＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cosu＝2cos(2x＋eq\f(π,3))．(4)復合函數的求導熟練后，中間步驟可省略不寫.3.求導運算的注意點(1)理解和掌握求導法則和公式的結構規律是靈活進行求導運算的前提條件，結合給定函數本身的特點，準確有效地進行求導運算．(2)利用基本初等函數的導數公式求導時，應根據問題特征，恰當選擇求導公式，有時不能直接運用公式，還需要進行適當變形．(3)求復合函數導數問題要先分析函數是如何復合的，然后逐層求導，最后作積還原。三、典例導析題型一利用導數的四則運算求導數例1求下列函數的導數：(1)y＝tanx；(2)y＝3x2＋x·cosx；(3)y＝(eq\r(x)－2)2－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2).思路導析：將給出的函數轉化為簡單函數的四則運算，再利用四則運算法則和基本初等函數的導數公式求導．解析：(1)y′＝(tanx)′＝(eq\f(sinx,cosx))′＝eq\f((sinx)′cosx－sinx(cosx)′,(cosx)2)＝eq\f(cos2x＋sin2x,(cosx)2)＝eq\f(1,cos2x).(2)y′＝(3x2＋x·cosx)′＝(3x2)′＋(x·cosx)′＝6x＋x′·cosx＋x·(cosx)′＝6x＋cosx－xsinx.(3)y′＝[(eq\r(x)－2)2－sineq\f(x,2)·coseq\f(x,2)]′＝[(eq\r(x)－2)2]′－(eq\f(1,2)sinx)′＝(x－4eq\r(x)＋4)′－eq\f(1,2)cosx＝1－eq\f(2,\r(x))－eq\f(1,2)cosx.歸納總結：當函數解析式較為復雜時，應先變形，然后求導，當函數解析式不能直接用公式時，也要先變形，使其符合公式形式．不能正確理解求導法則，特別是商的求導法則；求導過程中對符號判斷不清，也是導致出錯的原因之一．變式訓練：求下列函數的導數：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝lgx－eq\f(1,x2)；(3)y＝x4－3x2－5x＋6；(4)y＝eq\f(2,x2)＋eq\f(3,x3).題型二求復雜函數的切線例2已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.求曲線C在點(1，－4)的切線方程；思路導析：利用導數的幾何意義和導數的運算法則，求出切線的斜率，由點斜式寫出切線的方程．解析：y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12，所以曲線過點(1，－4)的切線斜率為－12，所以所求切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.變式訓練：在曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，求斜率最小的切線方程．題型三利用復合函數的求導法則求導數例3求下列函數的導數：(1)y＝(2x3－x＋eq\f(1,x))4；(2)y＝sin2(2x＋eq\f(π,3))．思路導析：正確選定中間變量是正確求導的關鍵，同時應注意不可機械地照搬某種固定的模式，這樣容易導致復合關系不準確．解析：(1)解法一：設y＝u4，u＝2x3－x＋eq\f(1,x)，則y′x＝y′u·u′x＝4u3×(6x2－1－eq\f(1,x2))＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(6x2－1－eq\f(1,x2))．解法二：y′＝[(2x3－x＋eq\f(1,x))4]′＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(2x3－x＋eq\f(1,x))′＝4(2x3－x＋eq\f(1,x))3(6x2－1－eq\f(1,x2))．(2)解法一：設y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋eq\f(π,3)，則y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sinv·cosv＝2sin2v＝2sin(4x＋eq\f(2π,3))．解法二：y′＝[sin2(2x＋eq\f(π,3))]′＝2sin(2x＋eq\f(π,3))·[sin(2x＋eq\f(π,3))]′＝2sin(2x＋eq\f(π,3))·cos(2x＋eq\f(π,3))·(2x＋eq\f(π,3))′＝2sin(4x＋eq\f(2π,3))．規律總結：復合函數求導三步曲：第一步：分層(從外向內分解成基本函數用到中間變量)．第二步：層層求導(將分解所得的基本函數進行求導)．第三步：作積還原(將各層基本函數的導數相乘，并將中間變量還原為原來的自變量)．上述解法中，解法一為初學時必須遵循的步驟，若熟練后，可利用解法二的步驟書寫即可。變式訓練：求下列函數的導數：(1)y＝sin3x；(2)y＝eq\r(3－x)(3)y＝ln(2x＋3)四、隨堂練習1．下列運算中正確的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(cosx－2x2)′＝(cosx)′－2′(x2)′C．(sin2x)′＝eq\f(1,2)(sinx)′·cosx＋eq\f(1,2)(cosx)′·cosxD．(2x－eq\f(1,x2))′＝(2x)′＋(x－2)′2．在下列四個命題中(每個函數都是可導函數)，真命題為()①若y＝f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)，則y′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)；②若y＝f1(x)·f2(x)，則y′＝f′1(x)f2(x)＋f1(x)f′2(x)＋f′1(x)f′2(x)；③若y＝k1f1(x)±k2f2(x)(k1，k2是實常數)，則y′＝k1f′1(x)±k2f′2(x)；④若y＝eq\f(f1(x),f2(x))，則f′＝eq\f(f1(x),f′2(x))＋eq\f(f′1(x),f2(x))＋eq\f(f′1(x),f′2(x)).A．①② B．②③C．①③ D．③④3．函數y＝eq\f(sinx,x)的導數為________．A．eq\f(sinx－xcosx,x) B．eq\f(sinx－xcosx,x2)C．eq\f(xcosx+sinx,x2) D．eq\f(xcosx－sinx,x2)4．函數g(x)＝2x3－2x2－7x－4在x＝2處的切線方程為________．5．若f(x)＝log3(2x－1)，則f′(2)＝________.6．求下列函數的導數：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(1)y＝eq\r(3x－x2)；(2)y＝ln(x-2)五、課后作業1．已知函數y＝x3＋ax2－eq\f(4,3)a的導數為0的x值也使y值為0，則常數a的值為()A．0或±3 B．0C．±3 D．非以上答案2．函數y＝cos(1＋x2)的導數是()A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2)C．－2xsin(1＋x2) D．2cos(1＋x2)3．(1)已知f(x)＝xex＋sinxcosx，則f′(0)＝________.(2)已知g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，則g′(1)＝________.4．點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則P到直線y＝x－2的距離的最小值是________．5．(1)求y＝x(x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x3))的導數；(2)求y＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)的導數；(3)求y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)的導數；(4)求y＝eq\f(3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9,\r(x))的導數．6．曲線y＝e2xcos3x在(0,1)處的切線與直線C的距離為eq\r(5)，求直線C的方程．參考答案1.2.2基本初等函數的導數公式與導數的運算法則第二課時導數的運算法則一、課前準備2.基礎預探1.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),g2(x))2.y＝f(u)u＝φ(x)3.y′u·u′xf′(u)·φ′(x)三、典例導析題型一利用導數的四則運算求導數例1變式訓練解析：(1)y′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(2)y′＝；(3)y′＝4x3－6x－5；(4).例2變式訓練解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴當x＝－1時，切線的斜率最小，最小斜率為3，此時，y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，切點為(－1，－14)．∴切線方程為y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.例3變式訓練解析：(1)設y＝sinu，u＝3x，則y′x＝y′u·u′x＝cosu·3＝3cos3x.(2)設y＝eq\r(u)，u＝3－x，則y′x＝y′u·u′x＝eq\f(1,2\r(u))·(－1)＝－eq\f(1,2\r(3－x)).（3）設y＝lnu，u＝2x＋3；y′u＝eq\f(1,u)，u′x＝2；y′x＝eq\f(1,u)×2＝eq\f(2,2x＋3)，∴y′＝eq\f(2,2x＋3).四、隨堂練習1．解析：由求導四則運算易得A正確，故選A.答案：A2．解析：由求導的四則運算易得，故選C.答案：C3．解析：y′＝eq\f((sinx)′x－sinx·(x)′,x2)＝eq\f(xcosx－sinx,x2).答案：D4．解析：∵g′(x)＝6x2－4x－7，∴g′(2)＝9.又∵g(2)＝－10，∴切線方程得9x－y－28＝0.答案：9x－y－28＝05．解析：∵f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝eq\f(1,(2x－1)ln3)(2x－1)′＝eq\f(2,(2x－1)ln3)，∴f′(2)＝eq\f(2,3ln3).答案：eq\f(2,3ln3)6．解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)∵y＝eq\f(ex－1＋2,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)，∴y′＝1′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,ex－1)))′，即.(3)設y＝eq\r(u)，u＝3x－x2，則yx′＝yu′·ux′＝eq\f(1,2\r(u))·(3－2x)＝eq\f(3－2x,2\r(3x－x2)).(4)設y＝lnu，u＝x-2，則yx′＝yu′·ux′＝eq\f(1,u)·1＝eq\f(1,x-2).五、課后作業1．解析：由y′＝3x2＋2ax＝0得x＝0或－eq\f(2a,3)，x＝0時，得a＝0；x＝－eq\f(2a,3)時，得a2＝