（一）3.2.1幾類不同增長的函數模型【教學重點】【教學目標】【教學難點】課程目標【教學手段】多媒體電腦與投影儀將實際問題轉化為函數模型,比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型的增長差異,結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義．怎樣選擇數學模型分析解決實際問題.借助信息技術，利用函數圖象及數據表格，對指數函數，對數函數以及冪函數的增長狀況進行比較，初步體會它們的增長差異性；結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同增長的函數模型意義，理解它們的增長差異性．問題情景問題情景

假如某公司每天向你投資10萬元,共投資30天.公司要求你給他的回報是:第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天,你認為這樣的交易對你有利嗎？

閱讀課本95～97頁例1，邊閱讀邊思考下面的問題：【例1】假設你有一筆資金用于投資,現有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.請問,你會選擇哪種投資方案？

在本問題中涉及哪些數量關系？如何用函數描述這些數量關系？構建數學探究一投資天數、回報金額解:設第x天所得回報是y元，則方案一：方案二：方案三：

在本問題中涉及哪些數量關系？如何用函數描述這些數量關系？探究一

上述的三個數學模型,第一個是常數函數,另兩個都是遞增的函數模型,你如何對三個方案作出選擇？方法1:我們來計算三種方案所得回報的增長情況：探究二

請同學們對函數增長情況進行分析,方法是列表觀察或作出圖象觀察.x/天

方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4

根據表格中所提供的數據,你對三種方案分別表現出的回報資金的增長差異有什么認識？三種方案每天回報表x42681012y20406080100120140o

底數為2的指數函數模型比線性函數模型增長速度要快得多.從中你對“指數爆炸”的函數有什么新的理解？

你能通過圖象描述一下三種方案的特點嗎？

方法2：我們來作出三種方案的三個函數的圖象：1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8結論:①投資1~6天,應選擇方案一;②投資7天,應選擇方案一或二;③投資8~10天,應選擇方案二;④投資11天(含11天)以上,則應選擇方案三.回報天數方案?累計回報表：方案一方案二方案三你30天內給公司的回報為:0.01+0.01×2+0.01×22+…

+0.01×229300萬元解答:公司30天內為你的總投資為:情景問題解答

假如某公司每天向你投資10萬元,共投資30天.公司要求你給他的回報是:第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天,你認為這樣的交易對你有利嗎？=10737418.23≈1074(萬元).1074-300=774(萬元).實際應用問題分析、聯想抽象、轉化構建數學模型解答數學問題審題數學化尋找解題思路還原(設)(列)(解)(答)★解答例1的過程實際上就是建立函數模型的過程,建立函數模型的程序大概如下：【例2】某公司為了實現1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司的要求？

本問題涉及了哪幾類函數模型？本問題的實質是什么？·············一次函數模型

實質:分析三種函數的不同增長情況對于獎勵模型的影響，就是比較三個函數的增長情況．y=0.25xy=log7x+1,·············對數函數模型·············指數函數模型y=1.002x探究一①銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵,且部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤1000萬元,所以銷售利潤x可用不等式表示為____________.③依據這個模型進行獎勵時,獎金不超過利潤的25%,所以獎金y可用不等式表示為___________.②依據這個模型進行獎勵時，獎金總數不超過5萬元,所以獎金y可用不等式表示為_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x

你能用數學語言描述符合公司獎勵方案的條件嗎?探究二

你能根據問題中的數據，判定所給的獎勵模型是否符合公司要求嗎？

獎勵模型符合公司要求就是依據這個模型進行獎勵時,符合條件：

(1)獎金總數不超過5萬元；

(2)獎金不超過利潤的25%.

因此,在區間[10,1000]上,不妨作出三個函數模型的圖象,通過觀察函數的圖象,得到初步的結論,再通過具體計算確認結果.探究三4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x探究四

通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？探究四

通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？①對于模型y=0.25x,它在區間[10,1000]上遞增,當x>20時,y>5,因此該模型不符合要求;探究四

通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？②對于模型y=1.002x,它在區間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結合計算可知,當x>806時,y>5,因此該模型不符合要求.探究四

通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？③對于模型y=log7x+1,它在區間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結合計算可知,當x=1000時,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數不超過5萬元的要求.

按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%呢？解:當x∈[10,1000]時,要使y≤0.25x成立,

令f(x)=log7x+1-0.25x,當x∈[10,1000]時是否有f(x)≤0恒成立?

即當x∈[10,1000]時,f(x)=log7x+1－0.25x的圖象是否在x軸下方?作f(x)=

log7x+1-0.25x的圖象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.探究五

根據圖象觀察,f(x)=log7x+1-0.25x的圖象在區間[10,1000]內的確在x軸的下方.

這說明,按模型y=log7x+1獎勵,獎金不會超過利潤的25%.由圖象知f(x)

在[10,1000]上為減函數.說明當x∈[10,1000]時,有.另解:作出f(x)的圖象(利用計算機).

綜上按對數函數模型獎勵符合公司提出的要求.

按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%呢？探究五即獎金不會超過利潤的25%.從以上兩個例子，我們看到對數函數，指數函數和冪函數在第一區間的增長是有差異的，下面用幾何畫板來觀察它們的差異．探究六問題情景

對數函數y=logax

(a>1),冪函數y=xn

(n>0)與指數函數y=ax(a>1)在區間(0,+∞)上都是增函數,但它們的增長是有差異的.那么這種差異的具體情況到底是怎樣呢?以函數y=2x,

y=log2x,y=x2為例.探究一制作函數值表(借助計算器制表).觀察表格,三個函數的增長速度是不同的.

總體來講隨著x的增大,y=log2x的增長速度最慢;y=2x和y=x2的增長速度有變化,一開始,

y=2x的增長速度快,后來y=x2增長速度快.1234xyo1y=log2xy=x2y=2x探究一畫函數圖象(描點或借助計算機作圖).觀察圖象可以看出:三個函數的增長速度是不同的,你能根據圖象分別標出不等式log2x<2x<x2和

log2x<x2<2x成立的x的取值范？(1)0<x<2或x>4時,(2)2<x<4時,24xyo1問題(1)如何求函數在(0,+∞)的零點?觀察函數y=2x與

y=x2之間的增長情況探究二觀察函數y=2x與

y=x2之間的增長情況

從函數圖象可以看出,y=2x與y=x2的圖象有兩個交點,表明2x與x2在自變量的不同的區間有不同的大小關系,有時2x>x2,有時2x<x2但當x越來越大時,2x的增長速度遠快于x2.問題(2)觀察圖象,試求出可使下列不等式成立的x的取值范圍.(1)0<x<2或x>4時,(2)2<x<4時,探究二答:在區間(0,+∞)上,盡管對數函數y=logax

(a>1),指數函數y=ax(a>1)與冪函數y=xn

(n>0)

都是增函數,但它們的增長速度不同,而且不在同一個“檔次”上.

隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=xn

(n>0)的增長速度,而y=logax

(a>1)的增長速度則會越來越慢.因此總存在一個x0,當x>x0時,就會有3.

冪函數，指數函數，對數函數增長速度的一般結論結論1:的增長快于的增長，所以存在一個，使x>時,有>.結論2:的增長快于的增長，所以存在一個，使x>時,有>.結論3：在區間（0，+∞）上，函數(a>1）（a>1),(n>0)都是增函數，但它們的增長速度不同。隨著x的增大

(a>1）的增長速度越來越快，遠遠大于（n>0)的增長速度，而(a>1)的增長速度則越來越慢，因此，會存在一個，當時，有探究①以函數為例.思考:你能用同樣的方法,討論函數y=logax(0<a<1),y=ax(0<a<1)與冪函數y=xn(n<0)在區間(0,+∞)上衰減情況嗎?結論:在區間(0,+∞)上,盡管對數函數y=logax

(0<a<1),

y=ax(0<a<1)與y=xn

(n<0)

都是減函數,但它們的衰減速度不同,而且不在同一個“檔次”上.

隨著x的增大,y=logax

(0<a<1)的衰減速度越來越快,會超過并遠遠大于y=ax(0<a<1)的衰減速度,而y=xn

(n<0)的衰減速度則會越來越慢.因此總存在一個x0,當x>x0時,就會有3.你能用同樣的方法,討論函數y=logax(0<a<1),

y=ax(0<a<1)與冪函數y=xn(n<0)在區間(0,+∞)上衰減情況嗎?【1】四個變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數據如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050關于x呈指數型函數變化的變量是________.(練習P.981)練一練練一練【2】某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病