山西省臨汾市下善中學2023年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數單位，復數z=a+i（a∈R）滿足z2+z=1﹣3i，則a=（）A．﹣2 B．﹣2或1 C．2或﹣1 D．1參考答案：A【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】把z=a+i代入z2+z=1﹣3i，整理后利用復數相等的條件列式求得a值．【解答】解：∵z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=a2+a﹣1+2ai+i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．故選：A．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，是基礎題．2.已知函數在區間恰有一個零點，則的取值范圍是

A.

B.

C.

D.參考答案：D3.（5分）（2015?慶陽模擬）已知向量=（1，n），=（﹣1，n），若2﹣與垂直，則n2的值為（）A．1B．2C．3D．4參考答案：C【考點】：平面向量數量積的運算．【專題】：計算題；平面向量及應用．【分析】：運用向量的加減運算和向量垂直的條件：數量積為0，計算即可得到所求值．解：向量=（1，n）．=（﹣1，n），則2﹣=（3，n），若2﹣與垂直，則（2﹣）=0，則有﹣3+n2=0，n2=3．故選C．【點評】：本題考查平面向量的數量積的坐標運算，考查向量的垂直的條件，考查運算能力，屬于基礎題．4.命題“若，則有實數根”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，假命題的個數是（▲）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C略5.閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（

）（A）2 （B）4 （C）6 （D）8參考答案：B試題分析：依次循環：結束循環，輸出，選B.6.在中，角的對邊分別為，則“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，當時，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要條件，選A.7.若向量，的夾角為，且||=2，||=1，則與+2的夾角為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：平面向量數量積的運算．專題：平面向量及應用．分析：利用數量積運算性質、向量的夾角公式即可得出．解答： 解：∵向量，的夾角為，且||=2，||=1，∴===1．∴==22+2×1=6，==．∴===，∴與+2的夾角為．故選：A．點評：本題考查了數量積運算性質、向量的夾角公式，屬于基礎題．8.設集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，則M中元素的個數為(

)A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B【考點】集合的確定性、互異性、無序性；集合中元素個數的最值．【專題】計算題．【分析】利用已知條件，直接求出a+b，利用集合元素互異求出M中元素的個數即可．【解答】解：因為集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能為：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4個．故選B．【點評】本題考查集合中元素個數的最值，集合中元素的互異性的應用，考查計算能力．9.已知函數y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，則()A．ω＝1，φ＝

B．ω＝1，φ＝－C．ω＝2，φ＝

D．ω＝2，φ＝－參考答案：D10.已知過曲線上一點與原點的直線的傾斜角為，則點坐標是(

)A．（，）B．C．（，）D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若（其中為整數），則稱為離實數最近的整數，記作，即．（1）若，則的值域是

；（2）設集合，，若集合的子集恰有個，則實數的取值范圍是

.參考答案：；或.（1）當時，，.故填.（2）由條件知是周期為的周期函數，由周期性可作出其圖象.又集合的子集恰有個，即中只有兩個元素.作出和的圖象如圖所示，則有

或，即或.故填或.【解題探究】本題是一道涉及創新定義、體現數形結合的小綜合題．解題關鍵是理解“離實數最近的整數”的數學意義，第（2）問由條件得到函數的周期性是解題的突破，這樣可以得到函數的圖象，從而求出實數的取值范圍.另外解題中還要注意特殊點的選取，對應區間端點是否取得.12.點A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積的最大值為．參考答案：【考點】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】根據幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：根據題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設小圓的圓心為Q，球的半徑為r，因為球的表面積為，所以4πr2=所以r=，四面體ABCD的體積的最大值，底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，就是D到底面ABC距離最大值時，h=r+=2．四面體ABCD體積的最大值為×S△ABC×h==，故答案為：．【點評】本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關鍵．13.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，點到直線的距離是

參考答案：114.設a=log36,b=log510,c=log714,則（A）c＞b＞a

（B）b＞c＞a

（C）a＞c＞b

(D)a＞b＞c參考答案：D15.在平面直角坐標系xOy中，點F為拋物線x2=8y的焦點，則F到雙曲線的漸近線的距離為

．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】求得拋物線的焦點和雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離公式計算即可得到所求值．【解答】解：拋物線x2=8y的焦點F（0，2），雙曲線的漸近線方程為y=±3x，則F到雙曲線的漸近線的距離為d==．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質，主要考查焦點和漸近線方程的求法，考查點到直線的距離公式的運用，屬于基礎題．16.設α為銳角，若sin（α﹣）=，則cos2α=．參考答案：﹣【考點】二倍角的余弦．【專題】三角函數的求值．【分析】由已知及同角三角函數關系式可求cos（α﹣），從而可求sin的值，利用二倍角的余弦函數公式即可得解．【解答】解：∵α為銳角，若sin（α﹣）=，∴cos（α﹣）=，∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．故答案為：﹣．【點評】本題主要考查了同角三角函數關系式，二倍角的余弦函數公式的應用，屬于基礎題．17.已知某幾何體的三視圖如圖所示，這該幾何體的體積為▲

，表面積為▲

．參考答案：，

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數.（Ⅰ）求函數的最小正周期及單調遞減區間；（Ⅱ）求函數在上的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）

…………2分

……………4分所以函數的最小正周期為.

…………6分由，，則.則函數單調減區間是，.

………………9分

(Ⅱ)由，得.

………11分則當，即時，取得最小值.…13分

略19.已知函數，.（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）證明：對于任意正整數，都有成立.附：.參考答案：（1）設..，，所以當時，，于是在上單調遞增；當時，，于是在上單調遞減.所以，，所以.（2）根據（1）可知時有不等式在上恒成立，又因為，所以，即成立.所以不等式在上恒成立.所以對于任意正整數，恒成立.所以，，…，，所以，所以，，所以.20.已知等差數列前項和為，且（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令（）求數列前項和為參考答案：解：(1)由題意得，即，

，故

（2）由（1）有

∴21.甲乙兩個口袋分別裝有四張撲克牌，甲口袋內的四張牌分別為紅桃A，方片A，黑桃Q與梅花K，乙口袋內的四張牌分別為黑桃A，方片Q，梅花Q與黑桃K，從兩個口袋分別任取兩張牌．（Ⅰ）求恰好抽到兩張A的概率．（Ⅱ）記四張牌中含有黑桃的張數為x，求x的分布列與期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）基本事件總數n==36，恰好抽到兩張A包含的基本事件個數m==15，由此能求出恰好抽到兩張A的概率．（Ⅱ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）甲乙兩個口袋分別裝有四張撲克牌，甲口袋內的四張牌分別為紅桃A，方片A，黑桃Q與梅花K，乙口袋內的四張牌分別為黑桃A，方片Q，梅花Q與黑桃K，從兩個口袋分別任取兩張牌．基本事件總數n==36，恰好抽到兩張A包含的基本事件個數m==15，∴恰好抽到兩張A的概率p==．（Ⅱ）由題意X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===，∴X的分布列為：X0123PE（X）==．22.（本小題滿分12分）已知定義域為R的函數是奇函數.(1)求的值;(2)用定義證明在上為減函數.(3)若對于任意,不等式恒成立,求的范圍.參考答案：（1）

……………2分

經檢驗符合題意.

……………4分

(2)任取

則=

…