2021-2022學年遼寧省沈陽市第一百七十中學高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列選項中，可以作為的必要不充分條件的是A.

B.C.

D.參考答案：D，，選項均等價于（其中選項，假設，則不會存在，使得成立，即，），等價于，而是的必要不充分條件.故選D

2.已知直線，平面，且，給出四個命題：

①若∥，則；②若，則∥；③若，則l∥m；④若l∥m，則．其中真命題的個數是(

)A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：C略3.定義在上的函數不是常數函數，且滿足對任意的有，

，現得出下列5個結論：①是偶函數，②的圖像關于對稱，③是周期函數，④是單調函數，⑤有最大值和最小值.其中正確的是

A. ①②⑤

B. ②③⑤

C. ②③④

D.

①②③參考答案：D略4.已知命題p：,x2－x+1≥0；命題q：若a2＜b2，則a＜b.下列命題為真命題的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B由時成立知p是真命題，由可知q是假命題，故選B.5.已知向量，若，則實數的值是（

）A.-2 B.0 C.1 D.2參考答案：A略6.若，則直線被圓所截得的弦長為(

)A．

B．1

C．

D．參考答案：D略7.設a、b、c均為正實數，則三個數

(

)A．都大于2B．都不大于2C．至少有一個不大于2D．至少有一個不小于2參考答案：D8.若曲線與曲線在交點處有公切線，則（A）（B）（C）（D）參考答案：B略9.已知全集為,則 A. B. C. D.

參考答案：A10.已知則與的夾角為

（

）

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，函數的最小值為2，則的最小值為

參考答案：212.函數，單調增區間是

▲

．參考答案：略13.若變量x,y滿足約束條件則Z=2x-y的最大值為（

）A.2

B.5

C.1

D.4參考答案：B略14.直線的傾斜角是__________．參考答案：直線為，傾斜角，．15.若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是__________.參考答案：16.斜率為的直線l過拋物線的焦點且與該拋物線交于A，B兩點，則|AB|=

；參考答案：略17.如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標分別對應數列的前12項，如下表所示：按如此規律下去，則

.

參考答案：1005略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實數k的取值范圍；（3）若f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．參考答案：考點：函數恒成立問題；函數的零點與方程根的關系．專題：函數的性質及應用．分析：（1）由函數g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化為2x+﹣2≥k?2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最大值，從而求得k的取值范圍．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0?|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，則t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），構造函數h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通過數形結合與等價轉化的思想即可求得k的范圍．解答： 解：（1）函數g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因為a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k?2x≥0可化為2x+﹣2≥k?2x，可化為1+（）2﹣2?≥k，令t=，則k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．記h（t）=t2﹣2t+1，因為t∈[，2]，故h（t）max=h（2）=1，所以k的取值范圍是（﹣∞，1]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0可化為：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，則方程化為t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三個不同的實數解，∴由t=|2x﹣1|的圖象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有兩個根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．記h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），則，或∴k＞0．點評：本題考查二次函數在閉區間上的最值，考查函數恒成立問題問題，考查數形結合與等價轉化、函數與方程思想的綜合應用，屬于難題．19.（本小題滿分12分）計算：（1）計算；（2）已知，求．參考答案：（1）20；（2）-1.（1）原式＝；（2）因為，所以，又因為，所以，所以.考點：指數，對數的運算性質20.對某校高一年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖：分組頻數頻率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30）20.05合計M1（1）求出表中M、p、m、n的值；（2）補全頻率分布直方圖；若該校高一學生有360人，估計他們參加社區服務的次數在區間參考答案：【分析】（Ⅰ）當a=1時，函數f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：．列出表格即可得出函數的單調性極值；（II）對于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，則有f（x）max≤g（x）min．利用導數分別在定義域內研究其單調性極值與最值即可．【解答】解：（Ⅰ）當a=1時，函數f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x1（1，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）單調遞增極大單調遞減極小單調遞增因此，當時，f（x）有極大值，且；當x=1時，f（x）有極小值，且f（x）極小值=﹣2．（Ⅱ）由g（x）=ex﹣x﹣1，則g'（x）=ex﹣1，令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是減函數，在（0，+∞）是增函數，即g（x）最小值=g（0）=0．對于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，則有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0對于任意的x∈（0，+∞）恒成立．（1）當a=0時，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函數，在（1，+∞）是減函數，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合題意．（2）當a＜0時，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函數，在（1，+∞）是減函數，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合題意．（3）當a＞0時，，f'（x）=0得，時，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．∴f（x）在（1，+∞）是增函數，而當x→+∞時，f（x）→+∞，這與對于任意的x∈（0，+∞）時f（x）≤0矛盾．同理時也不成立．綜上所述：a的取值范圍為．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了分類討論的思想方法，考察了推理能力和計算能力，屬于難題．21.（本題滿分7分）如圖，平面，矩形的邊長，，為的中點．若，求異面直線與所成的角的大小．

參考答案：（1）連，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，．由平面，得.由，，得平面．．取的中點，的中點，連、、、．，，的大小等于異面直線與所成的角或其補角的大小．由，，，得，，，．異面直線與所成的角的大小為．22.過橢圓C：+=1（a＞b＞0）右焦點F（1，0）的直線與橢圓C交于兩點A、B，自A、B向直線x=5作垂線，垂足分別為A1、B1，且=．（1）求橢圓C的方程；（2）記△AFA1、△FA1B1、△BFB1的面積分別為S1、S2、S3，證明：是定值，并求出該定值．參考答案：【考點】圓錐曲線的定值問題；橢圓的標準方程．【分析】（1）設點A（x，y），寫出|AA1|、|AF|的表達式，由=求出橢圓C的方程；（2）根據題意可設直線方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）；由得（4m2+5）y2+8my﹣16=0，由根與系數的關系，結合題意求出△AFA1的面積S1，△FA1B1的面積S2，△BFB1的面積S3，計算的值即可．【解答】解：（1）設點A（x，y），則|AA1|=5﹣x，|AF|=，由=，得=，化簡得+=1，由A是橢圓C上任一點，∴橢圓C的方程為+=1；（2）證明：∵直線AB的斜率不可以為0，而可以不存在，∴可設直線方程為：x=my+1；設A（x1，y1），B（x2，y2）；由，消去x得（4m2+5）y2+8my﹣16=0；∴（*）；由題意：△AFA1