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2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市中建五局中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱線長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A﹣BEF的體積為定值D.異面直線AE,BF所成的角為定值參考答案:D【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征.【分析】利用證線面垂直,可證AC⊥BE;判斷A正確;根據(jù)正方體中上下面平行,由面面平行的性質(zhì)可證,線面平行,從而判斷B正確;根據(jù)三棱錐的底面面積與EF的位置無(wú)關(guān),高也與EF的位置無(wú)關(guān),可判斷C正確;例舉兩個(gè)特除位置的異面直線所成的角的大小,根據(jù)大小不同判斷D錯(cuò)誤.【解答】解:∵在正方體中,AC⊥BD,∴AC⊥平面B1D1DB,BE?平面B1D1DB,∴AC⊥BE,故A正確;∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,EF?平面A1B1C1D1,∴EF∥平面ABCD,故B正確;∵EF=,∴△BEF的面積為定值×EF×1=,又AC⊥平面BDD1B1,∴AO為棱錐A﹣BEF的高,∴三棱錐A﹣BEF的體積為定值,故C正確;∵利用圖形設(shè)異面直線所成的角為α,當(dāng)E與D1重合時(shí)sinα=,α=30°;當(dāng)F與B1重合時(shí)tanα=,∴異面直線AE、BF所成的角不是定值,故D錯(cuò)誤;故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成的角及求法,考查了線面垂直、面面平行的性質(zhì),考查了學(xué)生的空間想象能力及作圖分析能力.2.如圖所示,圖中有5組數(shù)據(jù),去掉組數(shù)據(jù)后(填字母代
號(hào)),剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大()A. B. C. D.參考答案:A略3.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上且,則△的面積為(
)A.4
B.8 C.16 D.32參考答案:D略4.ABC的外接圓圓心為O,半徑為2,,且,在方向上的投影為(
)
A.-3
B
C.
D.3參考答案:C5.直線的參數(shù)方程是(
)。A.(t為參數(shù))
B.(t為參數(shù))
C.(t為參數(shù))
D.(為參數(shù))參考答案:C略6.已知命題p:“?x0∈R,x03>x0”,則命題¬p為()A.?x∈R,x3>x B.?x∈R,x3<x C.?x∈R,x3≤x D.?x0∈R,x03≤x0參考答案:C【考點(diǎn)】命題的否定.【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題,即可得到所求命題的否定.【解答】解:由特稱命題的否定為全稱命題,可得命題p:“?x0∈R,x03>x0”,則命題¬p為”?x∈R,x3≤x”.故選:C.7.半徑為的半圓卷成一個(gè)圓錐,則它的體積為
(
)A
B
C
D
參考答案:8.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位后所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是(
)A.
B.C.
D.參考答案:A9.下列四個(gè)命題:①對(duì)立事件一定是互斥事件
②若為兩個(gè)事件,則③若事件兩兩互斥,則④若事件滿足則是對(duì)立事件.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是(
)A.0 B.1 C.2 D.3參考答案:D略10.設(shè)數(shù)列共有項(xiàng),且,對(duì)于每個(gè)均有.當(dāng)時(shí),滿足條件的所有數(shù)列的個(gè)數(shù)為(
)A.215
B.512
C.1393
D.3139參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC,∠CBA=30°,D、E分別是BC、AP的中點(diǎn),則異面直線AC與DE所成角的大小為
.參考答案:【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.【分析】取AB中點(diǎn)F,連接DF,EF,則AC∥DF,∠EDF就是異面直線AC與DE所成的角(或所成角的補(bǔ)角),由此能求出異面直線AC與ED所成的角的大小.【解答】解:取AB中點(diǎn)F,連接DF,EF,則AC∥DF,∴∠EDF就是異面直線AC與DE所成的角(或所成角的補(bǔ)角).設(shè)AP=BC=2,∵PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC,∠CBA=30°,D、E分別是BC、AP的中點(diǎn),∴由已知,AC=EA=AD=1,AB=,PB=,EF=,∵AC⊥EF,∴DF⊥EF.在Rt△EFD中,DF=,DE=,∴cos∠EDF===,∴異面直線AC與ED所成的角為arccos.故答案為:arccos.12.已知三點(diǎn)不共線,為平面外一點(diǎn),若由向量確定的點(diǎn)與共面,那么.參考答案:13.設(shè)雙曲線b>0)的虛軸長(zhǎng)為2,焦距為則雙曲線的漸近線方程為
參考答案:14.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是_________。參考答案:略15.一個(gè)球的外切正方體的全面積等于24cm2,則此球的體積為.參考答案:略16.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+<n(n∈N*,n>1)”時(shí),由n=k(k>1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是.參考答案:【考點(diǎn)】RG:數(shù)學(xué)歸納法.【分析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法寫(xiě)出n=2時(shí)左邊的表達(dá)式即可,不等式的左邊需要從1加到,不要漏掉項(xiàng).【解答】解:用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N+,n>1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式為:;故答案為:17.已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則圓心到直線的距離為_(kāi)__________.參考答案:將直線的參數(shù)方程化為普通方程是:,將圓的參數(shù)方程化為普通方程是:,∴圓心到直線的距離.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)
(1)若關(guān)于x的不等式
(2)已知x,y都是正數(shù),若參考答案:(1)解:原不等式可變?yōu)椋?)解:由當(dāng)且僅當(dāng),即y=2x,又4x+y=6,解得x=1,y=2....................................................11分
所以.....................................................................12分19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足:.(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出它的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為,且,又成等比數(shù)列,求.參考答案:解:(Ⅰ)由可得,兩式相減得,,又,
故是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
∴.(Ⅱ)設(shè)的公差為,由得,可得,可得,故可設(shè),又.由題意可得,解得.∵等差數(shù)列的各項(xiàng)為正,∴∴.略20.在銳角中,角所對(duì)的邊分別為,且(1)求角的大小;
(2)求的范圍。參考答案:解:(1)由得,
……………6分(2)則
是銳角三角形
……………12分21.(本題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2+(a+1)x+1.(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若a>0,且對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|,求實(shí)數(shù)a的最小值.參考答案:解:(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=-lnx+x2+1.則f′(x)=-+x…3分
令f′(x)>0,得x<0或x>1.
所以函數(shù)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).……………5分
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
所以f′(x)===≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立.……8分
即x+a≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立.
所以a≥0.
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,+∞).…………10分
(3)因?yàn)閍>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
因?yàn)閤1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,不妨設(shè)x1>x2,所以f(x1)>f(x2).由|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|恒成立,可得f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),
即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2恒成立.
令g(x)=f(x)-2x,則在(0,+∞)上是增函數(shù).
………………12分
所以g′(x)=+x+(a+1)-2=≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立.
即x2+(a-1)x+a≥0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立.即a≥-對(duì)x∈(0,+∞)恒成立
因?yàn)椋剑?x+
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