第一章1.3.2A級基礎鞏固一、選擇題1．對于定義域是R的任意奇函數f(x)，都有eq\x(導學號69174402)(C)A．f(x)－f(－x)＞0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)＞0[解析]∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2.又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0，故選C．2．下列函數是偶函數的是eq\x(導學號69174403)(A)A．y＝2x2－3 B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x[解析]對A項：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函數，B、D項都為奇函數，C項中定義域不關于原點對稱，函數不具有奇偶性，故選A．3．下列說法正確的是eq\x(導學號69174404)(B)A．偶函數的圖象一定與y軸相交B．奇函數y＝f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0C．奇函數y＝f(x)的圖象一定過原點D．圖象過原點的奇函數必是單調函數[解析]A項中若定義域不含0，則圖象與y軸不相交，C項中定義域不含0，則圖象不過原點，D項中奇函數不一定單調，故選B．4．設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是eq\x(導學號69174405)(D)A．f(x)f(－x)是奇函數B．f(x)|f(－x)|是奇函數C．f(x)－f(－x)是偶函數D．f(x)＋f(－x)是偶函數[解析]令F1(x)＝f(x)·f(－x)，F2(x)＝f(x)|f(－x)|，F3(x)＝f(x)－f(－x)，F4(x)＝f(x)＋f(－x)，則F1(－x)＝f(－x)·f(x)＝F1(x)，即F1(x)為偶函數；F2(－x)＝f(－x)·|f(x)|≠±F2(x)，即F2(x)為非奇非偶函數；F3(－x)＝f(－x)－f(x)＝－(f(x)－f(－x))＝－F3(x)，即F3(x)為奇函數；F4(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F4(x)，即F4(x)為偶函數．結合選項知D正確．5．若函數y＝(x＋1)(x－a)為偶函數，則a＝eq\x(導學號69174406)(C)A．－2 B．－1 C．1 D．[解析]∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函數是偶函數，∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.6．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函數，則g(x)＝ax3＋bx2＋cxeq\x(導學號69174407)(A)A．是奇函數但不是偶函數 B．是偶函數但不是奇函數C．既是奇函數又是偶函數 D．既非奇函數又非偶函數[解析]∵f(－x)＝f(x)，∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c對x∈R恒成立．∴b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx(c≠0)．∴g(－x)＝－g(x)．二、填空題7．(2023·廣東深圳期末)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＜0，,gx，x＞0，))若f(x)是奇函數，則g(2)的值是\x(導學號69174408)[解析]∵f(x)是奇函數，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.8．(2023·全國卷Ⅱ文，14)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝\x(導學號69174409)[解析]∵當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，∴f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－16＋4＝－12，又∵f(x)是定義在R上的奇函數，∴f(－2)＝－f(2)＝－12，∴f(2)＝12.三、解答題9．已知f(x)是R上的偶函數，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)時，f(x)的解析式.eq\x(導學號69174410)[解析]設x<0，則－x>0.∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.∴f(－x)＝x2－x－1.∵函數f(x)是偶函數，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)＝x2－x－1.∴當x∈(－∞，0)時，f(x)＝x2－x－1.10．已知f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的表達式.eq\x(導學號69174411)[解析]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函數，g(x)是奇函數得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，兩式聯立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.B級素養提升一、選擇題1．函數f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關于eq\x(導學號69174412)(C)A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱[解析]∵f(x)＝eq\f(1,x)－x(x≠0)，∴f(－x)＝－eq\f(1,x)＋x＝－f(x)，∴f(x)為奇函數，所以f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象關于原點對稱，故選C．2．若函數f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)為奇函數，則a等于eq\x(導學號69174413)(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3) C．eq\f(3,4) D．1[解析]方法一：∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(－x,－2x＋1－x－a)＝－eq\f(x,2x＋1x－a)，即(2x－1)(x＋a)＝(2x＋1)(x－a)恒成立，整理得(2a－1)x∴必須有2a－1＝0，∴a＝eq\f(1,2)，故選A．方法二：由于函數f(x)是奇函數，所以必有f(－1)＝－f(1)，即eq\f(1,－1－a)＝－eq\f(1,31－a)，即1＋a＝3(1－a)，解得a＝eq\f(1,2)，故選A．3．(2023·河北衡水中學期中)已知f(x)＝x5－2ax3＋3bx＋2，且f(－2)＝－3，則f(2)＝eq\x(導學號69174414)(C)A．3 B．5 C．7 D．－[解析]令g(x)＝x5－2ax3＋3bx，則g(x)為奇函數，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝－3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.4．若定義在R上的函數f(x)滿足：對任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，則下列說法一定正確的是eq\x(導學號69174415)(C)A．f(x)為奇函數 B．f(x)為偶函數C．f(x)＋1為奇函數 D．f(x)＋1為偶函數[解析]令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，∴f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1，∴f(－x)＋1＝－f(x)－1＝－(f(x)＋1)，∴f(x)＋1為奇函數．二、填空題5．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數，則下列函數：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函數為__②④__(填序號).eq\x(導學號69174416)[解析]∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴①為偶函數；∵f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，則g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，∴②為奇函數；令F(x)＝xf(x)，則F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函數；令h(x)＝f(x)＋x，則h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函數．6．已知函數y＝f(x)是偶函數，其圖象與x軸有四個交點，則方程f(x)＝0的所有實根之和是\x(導學號69174417)[解析]∵偶函數的圖象關于y軸對稱，∴f(x)與x軸的四個交點也關于y軸對稱．若y軸右側的兩根為x1，x2，則y軸左側的兩根為－x1，－x2，∴四根和為0.C級能力拔高1．已知f(x)為奇函數，且當x<0時，f(x)＝x2＋3x＋2.若當x∈[1,3]時，f(x)的最大值為m，最小值為n，求m－n的值.eq\x(導學號69174418)[思路分析]思路1：先由f(x)為奇函數，結合x<0時，f(x)的解析式求出x>0時，f(x)的解析式，再求x∈[1,3]時，f(x)的最值，最后求m－n.思路2：可由x<0時的解析式求出x∈[－3，－1]上的最大值和最小值，再根據函數為奇函數，確定函數在x∈[1,3]的最小值和最大值，從而求m－n的值．[解析]∵x<0時，f(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，∴當x∈[－3，－1]時，f(x)min＝f(－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,4)，f(x)max＝f(－3)＝2.∵f(x)為奇函數，∴f(x)在x∈[1,3]上的最小值和最大值分別是－2，eq\f(1,4)，∴m＝eq\f(1,4)，n＝－2.∴m－n＝eq\f(1,4)－(－2)＝eq\f(9,4)，即m－n的值為eq\f(9,4).2．設函數f(x)對任意實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0時，f(x)<0，f(1)＝－\x(導學號69174419)(1)求證：f(x)是奇函數；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值與最小值．[解析](1)證明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)