2023/2/411.5正態(高斯)隨機過程一正態隨機過程的一般概念

1正態隨機過程的定義

如果隨機過程X(t)的任意n維概率分布都是正態分布，則稱它為正態隨機過程或高斯隨機過程，簡稱正態過程或高斯過程。2023/2/422正態隨機過程的概率密度函數

上式中,mX是n維均值向量，K是n維協方差矩陣2023/2/432023/2/443性質

正態隨機過程的n維概率密度函數只取決于均值和協方差和相關系數。4復隨機正態隨機過程

若復正態隨機過程Z(t)的n個采樣時刻得到n個復隨機變量，即

其中，Xi、Yi皆為實隨機變量。此n個復隨機變量的聯合概率密度應是2n維隨機變量的聯合概率密度服從正態分布。2023/2/45二平穩正態隨機過程

1平穩正態隨機過程的定義

若正態隨機過程滿足下列條件，則它是寬平穩正態隨機過程。

2023/2/462平穩正態過程的n維概率密度函數

平穩正態過程一維概率密度函數：平穩正態過程二維概率密度函數：其中r為相關系數。2023/2/47式中，R是相關系數構成的行列式，形式如下平穩正態過程n維概率密度函數：

為行列式中元素的代數余子式。2023/2/48三正態隨機過程的性質

正態隨機過程的n維概率密度完全由它的均值函數和協方差函數所確定。性質1：性質2：正態過程的嚴平穩與寬平穩等價。1）由正態隨機過程的概率密度表達式可知，它的任意n維概率密度僅由均值,方差和相關系數唯一確定。如果正態隨機過程X(t)寬平穩，則其均值和方差是常數，相關系數只與時間差有關，因此它的任意n維概率密度函數僅與時間起點無關，因此是嚴平穩的。2）由于正態過程的均方值總是有界的，因此嚴平穩正態過程一定是寬平穩的。證明2023/2/49性質3：正態過程的不相關與相互獨立等價。（2）如果Xn（n＝1,2,…）兩兩之間互不相關，則若X(t)在n個不同時刻采樣得到一組隨機變量為X1,X2,…,Xn證明（1）如果Xn（n＝1,2,…）兩兩之間相互獨立，則對任意的則正態隨機過程在n個不同時刻的取值不相關。2023/2/410即兩兩相互獨立。

因此所以則

2023/2/411性質4：平穩正態過程與確定信號之和概率密度函數仍服從正態分布。

證明設X(t)為平穩正態過程，S(t)為確定性信號，合成信號為Y(t)=X(t)+S(t)那么對于任意時刻t，Y(t)=X(t)+S(t)為隨機變量，這時S(t)具有確定值，由隨機變量函數的概率密度求出Y(t)的一維概率密度函數為：

且服從正態分布。同理，Y(t)的二維概率密度為：正態分布同理，可證明合成信號的n維概率密度也是正態過程。

性質6：若正態過程X(t)在T上均方可微，則其導數也是正態過程。性質5：若為維正態隨機變量，且均方收斂于即對每個，有則為正態分布的隨機變量。2023/2/413若正態過程X(t)在T上均方可積，則積分過程性質7：

也是正態過程。正態隨機過程通過線性系統后的輸出仍為正態過程。

性質8：

正態過程的線性變換仍為正態過程。

推論：2023/2/414例

設Ｘ(t)為零均值高斯過程，其協方差為求在時刻抽樣的三維概率密度？2023/2/415解由定義式可知其中將K代入，即可得出三維概率密度。2023/2/416例

設Ｘ(t)為平穩高斯過程，其