學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE13學必求其心得，業必貴于專精PAGE7。2棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積學習目標1。掌握柱體、錐體、臺體的體積的計算公式，會利用它們求有關幾何體的體積.2.掌握求幾何體體積的基本技巧．知識點一柱、錐、臺體的體積公式幾何體體積公式柱體圓柱、棱柱V柱體＝________S-柱體底面積，h—柱體的高錐體圓錐、棱錐V錐體＝________S—錐體底面積,h-錐體的高臺體圓臺、棱臺V臺體＝________________S上、S下—臺體的上、下底面面積，h—高知識點二柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系V＝ShV＝eq\f(1,3）（S′＋eq\r(S′S）＋S）hV＝eq\f（1，3）Sh.類型一多面體的體積例1如圖①是一個水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中點．正三棱柱的主視圖如圖②,求正三棱柱ABC－A1B1C1的體積．反思與感悟求幾何體體積的四種常用方法(1)公式法：規則幾何體直接代入公式求解．（2)等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱、三棱柱補成四棱柱等．（4）分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．跟蹤訓練1一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A。eq\f(1，8）B。eq\f(1,7）C。eq\f(1，6)D.eq\f（1,5)類型二旋轉體的體積例2(1）一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m）,則該幾何體的體積為________m3.（2）體積為52cm3的圓臺，一個底面面積是另一個底面面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積為()A．54cm3B．54πcm3C．58cm3D．58πcm3反思與感悟要充分利用旋轉體的軸截面，將已知條件盡量歸結到軸截面中求解，分析題中給出的數據，列出關系式后求出有關的量，再根據幾何體的體積公式進行運算、解答．(1)求臺體的體積，其關鍵在于求高,在圓臺中,一般把高放在等腰梯形中求解．（2）“還臺為錐”是求解臺體的體積問題的重要思想，作出截面圖，將空間問題平面化，是解決此類問題的關鍵．跟蹤訓練2設圓臺的高為3，如圖,在軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，則圓臺的體積為________．類型三幾何體體積的求法eq\x(命題角度1等體積法）例3如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1,E為線段B1C上的一點，則三棱錐A－DED1的體積為________．反思與感悟（1)三棱錐的每一個面都可當作底面來處理．(2）利用等體積法可求點到面的距離．跟蹤訓練3如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在三棱錐A1－ABD中,求A到平面A1BD的距離d。eq\x（命題角度2割補法)例4如圖,在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB,EF＝2，EF與平面AC的距離為3，求該多面體的體積．反思與感悟通過“割補法”解決空間幾何體的體積問題，需要思路靈活，有充分的空間想象力，什么時候“割"，什么時候“補”，“割”時割成幾個圖形，割成什么圖形，“補”時補上什么圖形，都需要靈活的選擇．跟蹤訓練4如圖所示，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積．1.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖）,則三棱錐B1—ABC的體積為（)A。eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f（\r(3),6） D。eq\f(\r(3)，4）2．如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4π，那么圓柱的體積等于(）A．π B．2πC．4π D．8π3．棱臺的上，下底面面積分別是2,4，高為3，則該棱臺的體積是（)A．18＋6eq\r(2） B．6＋2eq\r(2)C．24 D．184．某幾何體的三視圖如圖所示，其體積為________．5．如圖是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯,水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降__________cm.1．柱體、錐體、臺體的體積之間的內在關系為V柱體＝Sheq\o（→，\s\up7(S′＝S)）V臺體＝eq\f（1,3)h（S＋eq\r（SS′)＋S′）eq\o（→,\s\up7(S′＝0）)V錐體＝eq\f（1,3)Sh.2．在三棱錐A－BCD中，若求點A到平面BCD的距離h，可以先求VA－BCD，h＝eq\f（3V，S△BCD).這種方法就是用等體積法求點到平面的距離,其中V一般用換頂點法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC,求解的原則是V易求，且△BCD的面積易求．3．求幾何體的體積，要注意分割與補形．將不規則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規則的幾何體求解．答案精析知識梳理知識點一Sheq\f（1，3）Sheq\f（1,3）(S上＋S下＋eq\r（S上·S下)）h題型探究例1解由主視圖可知，在正三棱柱中，AD＝eq\r(3），AA1＝3，從而在等邊三角形ABC中，BC＝eq\f（AD,sin60°）＝eq\f(\r（3）,\f（\r(3),2））＝2，所以正三棱柱的體積V＝Sh＝eq\f（1，2）×BC×AD×AA1＝eq\f（1,2)×2×eq\r（3）×3＝3eq\r（3）.跟蹤訓練1D[如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱錐A1－AB1D1。設正方體的棱長為a，則VA1－AB1D1＝eq\f(1，3）×eq\f（1，2）a3＝eq\f（1,6)a3，故剩余幾何體的體積為a3－eq\f(1,6）a3＝eq\f（5,6）a3，所以比值為eq\f(1，5），故選D。]例2（1）eq\f(8π,3)解析由所給三視圖可知,該幾何體是由相同底面的兩個圓錐和一個圓柱組成,底面半徑為1m,圓錐的高為1m,圓柱的高為2m,因此該幾何體的體積V＝2×eq\f（1，3)×π×12×1＋π×12×2＝eq\f(8π，3)(m3）．（2）A[由底面面積之比為1∶9知，體積之比為1∶27。截得的小圓錐與圓臺體積比為1∶26，∴小圓錐的體積為2cm3，故原來圓錐的體積為54cm3，故選A.]跟蹤訓練221π例3eq\f（1，6)解析V三棱錐A－DED1＝V三棱錐E－DD1A＝eq\f（1,3）×eq\f（1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)。跟蹤訓練3解在三棱錐A1－ABD中，AA1是三棱錐A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2).∵eq\f(1,3)×eq\f（1,2)×12×1＝eq\f（1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2）×eq\f（\r（3）,2）×eq\r(2)×d，∴d＝eq\f(\r（3），3)。例4解如圖,連接EB,EC，AC。四棱錐E－ABCD的體積VE－ABCD＝eq\f(1，3）×42×3＝16.因為AB＝2EF，EF∥AB，所以S△EAB＝2SBEF.所以VF－EBC＝VC－EFB＝eq\f(1，2)VC－ABE＝eq\f(1,2）VE－ABC＝eq\f(1,2）×eq\f(1,2)VE－ABCD＝4。所以該多面體的體積V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.跟蹤訓練4解用一個完全相同的