7．函數的奇偶性黃文輝學習目標1．了解奇偶性的定義．2．會判斷函數的奇偶性，能證明一些簡單函數（包括分段函數）的奇偶性．3．通過函數的圖象了解函數的奇偶性．4．能利用函數的奇偶性研究其單調性、求函數解析式等問題．一、夯實基礎基礎梳理1．偶函數和奇函數偶函數奇函數定義如果對于函數的定義域內__________一個，都有：__________，函數叫做偶函數__________，函數叫做奇函數圖象特征圖象關于__________對稱．圖象關于__________對稱．2．題型設計（1）函數奇偶性的判斷；（2）奇偶函數的圖象問題；（3）函數奇偶性的應用；（4）利用函數奇偶性求參數．基礎達標1．判斷下列函數的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．2．設為奇函數，且在上為減函數，則的圖象關于（）．A．軸對稱，且在上為增函數B．原點對稱，且在上為增函數C．軸對稱，且在上為減函數D．原點對稱，且在上為減函數3．若函數是奇函數，則__________．4．解決下列問題：（1）二次函數為偶函數，當且僅當__________．（2）一次函數為奇函數，當且僅當__________．（3）設函數為奇函數，則實數__________．5．已知，且，則__________．二、學習指引自主探究1．請閱讀課本，談談你在理解函數奇偶性概念方面有哪些心得體會？偶函數奇函數表達式定義域圖象單調性…2．對于定義在上的函數，判斷下列說法是否正確：（1）若是偶函數，則；（2）若，則是偶函數；（3）若，則不是偶函數；（4）若，則不是奇函數；（5）因為與的圖象關于軸對稱，所以與互為偶函數．3．都是定義在上的函數．根據下列條件，研究函數的奇偶性：（1）都是奇函數，；（2）是奇函數，是偶函數，且都不恒為0，；（3）是奇函數，是偶函數，．4．已知定義在上的函數在上是增函數，請從圖象和代數推理兩個方面思考在下列情況下在上的單調性；（1）是奇函數；（2）是偶函數．5．動手實驗：研究函數與=（其中是常數），這類函數可能具有奇偶性嗎？如果可能，請舉出實例．案例分析1．判斷下列函數的奇偶性；（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）偶函數；（2）奇函數；（3）因為定義域不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶．（4）因為所以函數不是偶函數，又，所以函數不是奇函數，故函數是非奇非偶函數．說明：判斷函數奇偶性．不僅要注意分析函數解析式，也要注意分析函數定義域．2．判斷函數的奇偶性．【解析】函數定義域為：．滿足．為奇函數．說明：判斷復雜函數奇偶性時，應先考慮函數的定義域，然后在定義域內，對函數解析式進行變形化簡，最后再來●●關系，本題就是一個成功的案例，應注意學習與體會．3．若函數為定義在區間上的偶函數，且，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A．【解析】為偶函數．，．4．已知是定義在上的奇函數，當時，，求解析式．【解析】當時，則，，又，5．定義在上的偶函數在上是減函數，若，求實數的取值范圍．【解析】因為函數為偶函數，所以，又函數在區間上為增函數，所以當且僅當所以實數的取值范圍是．三、能力提升能力闖關1．函數是上的偶函數，且在上是增函數，若，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．或2．利用偶函數的定義證明：是偶函數．3．已知是奇函數，且在上是增函數，且，試判斷在上的單調性并證明．拓展遷移4．若是定義在上的偶函數，且當時，，求當時，的解析式．5．若函數試問為何值時，函數是奇函數，并證明你的結論．挑戰極限6．設是定義在上的奇函數，對任意，當時，都有．（1）若，且，試比較與的大小；（2）解不等式．課程小結1．奇偶性是函數的整體體質，只有對于定義域內的任意一個，都有或，才能判定函數具有奇偶性．2．如果對于函數定義域內的某一個且，那么函數即不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數．3．一次函數是奇函數當且僅當圖象過原點，即一次函數是正比例函數；二次函數是偶函數當且僅當圖象對稱軸為軸．4．如果函數有奇偶性，則我們可以利用函數在某區間上的圖象或單調性研究函數在相對應的關于原點對稱的區間上的圖象或單調性．5．兩個具有相同定義域的偶函數的和、差、積、高（分母不為零）仍為偶函數；兩個具有相同定義域的奇函數的和、差仍是奇函數；積、商為偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積、商為奇函數；不恒為零的奇函數與不恒為零的偶函數的和、差一定是非奇非偶函數．想一想具有奇偶性的函數的定義域有什么特點？

7．函數的奇偶性基礎梳理1．任意，軸，原點．基礎達標1．（1）奇函數；（2）偶函數；（3）非奇非偶函數；（4）非奇非偶函數．【解析】（3）因為定義域不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶函數；（4）因為定義域不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶函數．2．．3．【解析】根據奇函數的定義域要關于原點對稱有即．4．（1）；（2）；（3）．【解析】（1）二次函數為偶函數，當且僅當函數圖象關于軸對稱，即．（2）一次函數為奇函數．（3）解法一：∵是奇函數，∴，此時，滿足，故即為所求．解法二：，∵是奇函數，∴．5．．【解析】，∴．自主探究【解析】通過細致分析奇偶函數定義，我們可以得出下列幾點認識：偶函數奇函數表達式或或定義域奇偶函數定義域是對稱數集，即關于原點對稱，就是說如果函數定義域不關于原點對稱，則函數不可能是奇函數，也不可能是偶函數．圖象函數為偶函數當且僅當其圖象關于軸對稱函數為奇函數當且僅當其圖象關于原點對稱單調性偶函數在和有相反的單調性奇函數在和有相同的單調性2．【解析】（1）（3）正確．3．【解析】（1）一定是奇函數，證明如下：∵都是定義在上的奇函數．∴，∴是奇函數．（2）一定是非奇非偶函數，證明如下：（用反證法）∵是奇函數，為偶函數．∴．若為奇函數，則，于是，即．與已知矛盾！若為偶函數，則．于是，即．與已知矛盾！（3）一定是奇函數，證明如下：∵，∴是定義在上奇函數4．【解析】（1）由奇函數圖象關于原點對稱知識，容易看出在上也是增函數．下面證明這個結論．設，則，∵在上是增函數，∴．∵是奇函數，∴，，∴，，∴在上也是增函數．（2）由偶函數圖象關于軸對稱知識，容易看出在上也是減函數．下面證明這個結論．設，則．∵在上是增函數，∴，∵是偶函數，∴，，∴，∴在上是減函數．5．動手實驗：【解析】是偶函數，是奇函數．想一想關于原點對稱．能力闖關1．．【解析】根據偶函數的增減性法則可得，得．2．【解析】的定義域為，它關于原點對稱．當時，，且，，∴．當時，，且，，∴．綜上所述，是偶函數，說明：本題是證明分段函數的奇偶性，要分別從或來證明，即證對于定義域內任意有成立．3．【解析】在上是減函數．證明：對任意，則，由已知是奇函數，且在上是增函數得：，所以，即．由已知，．∴，所以在上是減函數．說明：去掉“”，結論還成立呢？將條件“”改為“”，結論有變化嗎？拓展遷移4．【解析】時，，又是定義在上的偶函數．∴．5．【解析】假設是奇函數，則，所以，解得．下證為奇函數．證明