1第三節線性變換的特征值、特征向量2從本節開始，我們主要討論，如何選擇一組適當的基，使V的某個線性變換在這組基下的矩陣就是一個對角矩陣?引入有限維線性空間V中取定一組基后，V的任一線性希望這個矩陣越簡單越好，如對角矩陣.

變換都可以用矩陣來表示.為了研究線性變換性質，3設是數域P上線性空間V的一個線性變換，

則稱為的一個特征值（eigenvalue），稱為的一、特征值與特征向量

定義若對于P中的一個數存在一個V的非零向量使得的特征向量（eigenvector）.

屬于特征值4下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)

到基(Ⅱ)的過渡矩陣矩陣是X，則(Ⅱ)(Ⅰ)定理

設線性空間V的線性變換在兩組基相似矩陣有相同的特征值。5（1）

在V中任取一組基寫出在這組基下就是的全部特征值.（2）

求A的特征多項式在P上的全部根它們1、求特征值與特征向量的一般步驟的矩陣A.6（3）把所求得的特征值逐個代入方程組的全部線性無關的特征向量在基并求出它的一組基礎解系.(它們就是屬于這個特征值如果特征值對應方程組的基礎解系為：則下的坐標.)7就是屬于這個特征值的全部線性無關的特征向量.

而（其中，不全為零）

就是的屬于的全部特征向量.8解：A的特征多項式

例1

設線性變換在基下的矩陣是求特征值與特征向量.故的特征值為：（二重）

9把代入齊次方程組得

即

它的一個基礎解系為：

因此，屬于的兩個線性無關的特征向量為而屬于的全部特征向量為不全為零

10因此，屬于5的一個線性無關的特征向量為把代入齊次方程組得

解得它的一個基礎解系為：

而屬于5的全部特征向量為11二、特征多項式的有關性質1、設則A的特征多項式由多項式根與系數的關系還可得

（2）

A的全體特征值的積＝（1）

A的全體特征值的和＝122、相似矩陣具有相同的特征多項式.證:設于是，則存在可逆矩陣X，使得13有相同特征多項式的矩陣未必相似.它們的特征多項式都是，但A、B不相似.如

注意設為A的特征多項式,則3、哈密爾頓─凱萊（Hamilton─Caylay）定理144、設為有限維線性空間V的線性變換，是的特征多項式，則15練習1已知為A的一個特征值，則1.必有一個特征值為

;2.必有一個特征值為

;3.A可逆時，必有一個特征值為

;4.A可逆時，必有一個特征值為

.5.則必有一個特征值為

.16行列式＝

.練習2已知3階方陣A的特征值為：1、－1、2，則矩陣的特征值為：

，17定義1

設維線性空間V的一個線性變換，如果存在V的一個基，使在這組基下的矩陣為對角矩陣，則稱線性變換可對角化（diagonalization）.矩陣，則稱矩陣A可對角化.定義2

矩陣A是數域上的一個級方陣.如果存在一個上的級可逆矩陣，使為對角三、可對角化的概念

18下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)

到基(Ⅱ)的過渡矩陣矩陣是X，則(Ⅱ)(Ⅰ)定理

設線性空間V的線性變換在兩組基191、（定理

）設為維線性空間V的一個線性變換，則可對角化

有個線性無關的特征向量.2、（定理

）設為n維線性空間V的一個線性變換,如果分別是的屬于互不相同的特征值的特征向量，則線性無關.20例1

設求非奇異矩陣，使得為對角陣。21特別地，（推論2）在復數域C上的線性空間中，3、（推論1）設為n

維線性空間V的一個線性變換，則可對角化.如果線性變換的特征多項式沒有重根，則可如果的特征多項式在數域

P

中有n個不同特征值，對角化.22特征值的線性無關的特征向量，則向量線性無關.4、（定理

）設為線性空間V的一個線性變換，

是的不同特征值，而是屬于為的特征子空間.

5、設為n維線性空間V的一個線性變換，為全部不同的特征值，則可對角化23例2

設求特征值、特征向量和.例3

設問當為何值時，存在可逆矩陣，使得為對角陣，并求和相應的對角陣。24例6

設是n階方陣，E是n階單位陣。證明：若，則E-A可逆。例4

設均是n階矩陣，證明與有相同的特征值。例7

設