第六節對數與對數函數1．對數的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數，記作____________．2．對數的性質、換底公式與運算性質x＝logaN0

1

N

3.對數函數的定義、圖象與性質定義函數

_________(a＞0且a≠1)叫做對數函數圖象a＞10＜a＜1y＝logax性質定義域：____________值域：_____________當x＝1時，y＝0，即過定點___________當0＜x＜1時，y＜0;當x＞1時，________.當0＜x＜1時，y＞0；當x＞1時，____．在(0，＋∞)上為_________在(0，＋∞)上為___________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)y＞0y＜0增函數減函數4.反函數指數函數y＝ax(a＞0且a≠1)與對數函數

_________(a＞0且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線________對稱．y＝logaxy＝x1．如何確定圖中各函數的底數a，b，c，d與1的大小關系？你能得到什么規律？【提示】

作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大．2．當對數logab的值為正數或負數時，a，b滿足什么條件？【提示】

若logab＞0，則a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0，1)，簡記為a，b在相同的區間內；若logab＜0，則a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且b∈(1，＋∞)，簡記為a，b在不同的區間內．1．(人教A版教材習題改編)2log510＋log50.25＝(

)A．0 B．1 C．2 D．4【解析】

2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】

C【解析】

由題意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故選D.【答案】

D【答案】

D4．(2013·蘇州模擬)函數f(x)＝log5(2x＋1)的單調增區間是________．5．(2012·北京高考)已知函數f(x)＝lg

x，若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝________．【解析】

∵f(x)＝lg

x，∴f(a2)＋f(b2)＝2lga＋2lgb＝2lgab.又f(ab)＝1，∴lg

ab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.【答案】

2【思路點撥】

(1)根據乘法公式和對數運算性質進行計算；(2)將對數式化為指數式或直接代入求解．【嘗試解答】

(1)法一∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.1．對數運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此經常用到換底公式及其推論；在對含字母的對數式化簡時必須保證恒等變形．2．ab＝N?b＝logaN(a＞0且a≠1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中要注意互化．3．利用對數運算法則，在積、商、冪的對數與對數的和、差、倍之間進行轉化．A．(1，10)

B．(5，6)C．(10，12) D．(20，24)(2)作出f(x)的大致圖象．不妨設a＜b＜c，因為a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函數的圖象可知10＜c＜12，且|lg

a|＝|lg

b|，因為a≠b，所以lg

a＝－lg

b，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)，故選C.【答案】

(1)D

(2)C1．解答本題(1)時，可假設一個圖象正確，然后看另一個圖象是否符合要求；對于本題(2)根據|lg

a|＝|lg

b|得到ab＝1是解題的關鍵．2．對一些可通過平移、對稱變換能作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合求解．3．一些對數型方程、不等式問題的求解，常轉化為相應函數圖象問題，利用數形結合法求解．(1)已知函數f(x)＝ln

x，g(x)＝lg

x，h(x)＝log3x，直線y＝a(a＜0)與這三個函數的交點的橫坐標分別是x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是(

)A．x2＜x3＜x1

B．x1＜x3＜x2C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1(2)(2012·皖南八校第三次聯考)若函數f(x)＝loga(x＋b)的大致圖象如圖2－6－2，其中a，b為常數，則函數g(x)＝ax＋b的大致圖象是(

)【解析】

(1)在同一坐標系中畫出三個函數的圖象及直線y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故選A.(2)由對數函數遞減得0＜a＜1，且f(0)＝logab∈(0，1)?0＜a＜b＜1，所以函數g(x)單調遞減，且g(0)＝a0＋b＝1＋b∈(1，2)．【答案】

(1)A

(2)B【思路點撥】

(1)利用真數大于0構建不等式，但要注意分類討論，(2)先由條件求出a的值，再討論奇偶性和單調性．由于f(x)為奇函數，所以f(x)在(－∞，－5)內單調遞減．

1．利用對數函數的性質比較對數值大?。?1)同底數(或能化為同底的)可利用函數單調性處理；(2)底數不同，真數相同的對數值的比較，可利用函數圖象或比較其倒數大小來進行．(3)既不同底數，又不同真數的對數值的比較，先引入中間量(如－1，0，1等)，再利用對數函數性質進行比較．2．利用對數函數性質研究對數型函數性質，要注意三點，一是定義域；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成．

(2013·中山模擬)已知函數f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在區間[1，2]上恒成立，求實數a的取值范圍．ab＝N?logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)解決與對數有關的問題時：(1)務必先研究函數的定義域．(2)對數函數的單調性取決于底數a，應注意底數的取值范圍．對數值的大小比較方法(1)化同底后利用函數的單調性．(2)作差或