準(zhǔn)確，可靠，理論上得到的解是精確的第四章解線(xiàn)性代數(shù)方程組的直接法背景：在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，很多問(wèn)題往往最終都?xì)w結(jié)為解線(xiàn)性代數(shù)方程組，例如：結(jié)構(gòu)分析、網(wǎng)絡(luò)分析、數(shù)據(jù)分析、最優(yōu)化和微分方程組數(shù)值解等，常遇到線(xiàn)性方程組的求解問(wèn)題.

記為矩陣形式：解線(xiàn)性方程組的數(shù)值方法大體上可分為兩類(lèi)：直接法和迭代法①

直接法是指在沒(méi)有舍入誤差的情況下經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算可求得精確解；②迭代法是從一個(gè)初始向量出發(fā)按照一定的計(jì)算格式逐次逼近精確解.在線(xiàn)性代數(shù)課程中，給出了求解線(xiàn)性方程組的一種直接法---克萊姆（Cramer，瑞典數(shù)學(xué)家）算法.例如一、直接法速度快，但有誤差或者：根據(jù)Cramer法則：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有唯一解，而且解為：如取n＝100，1033次/秒的計(jì)算機(jī)大約要算10120年.可見(jiàn)，該方法對(duì)高階方程組計(jì)算量太大,不是一種實(shí)用的算法.實(shí)用的直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss,德國(guó)）消去法（一般適用于低階稠密矩陣方程組求解），其它很多算法都是它的變形和應(yīng)用.為了給出高斯消去法公式，我們回顧一些知識(shí)：需計(jì)算n+1個(gè)行列式，而每個(gè)行列式的計(jì)算需（n-1）*n！次乘法.計(jì)算x需n次除法1.下面三種線(xiàn)性方程組的解可直接求出：①②③求解次序第i行第i行00對(duì)方程組，作如下的變換，解不變！①交換兩個(gè)方程的次序.②一個(gè)方程的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非0的數(shù).③一個(gè)方程的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非0數(shù)，加到另一個(gè)方程.因此，相應(yīng)地對(duì)增廣矩陣(A，b)，作如下的變換，解不變！①交換矩陣的兩行.②某一行乘以一個(gè)非0的數(shù).③某一行乘以一個(gè)非0數(shù)，加到另一行.

2.初等變換矩陣的性質(zhì)：的思想使用初等行變換,將Ax=b轉(zhuǎn)化為同解的上三角方程組，再回代求解.==Gauss消元法0Gauss消元法的求解過(guò)程可分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：消元過(guò)程和回代過(guò)程.消元過(guò)程是將系數(shù)矩陣A化為上三角矩陣的過(guò)程回代過(guò)程是求解上三角方程組的過(guò)程下面主要討論消元過(guò)程：實(shí)質(zhì)上是將方程組的增廣矩陣

通過(guò)初等行變換化成三角方程組的增廣矩陣的過(guò)程.矩陣形式為:第1行稱(chēng)為順序Gauss消去法矩陣形式：第2行矩陣形式第k行類(lèi)似地進(jìn)行下去，經(jīng)n-1步消元后便得到記則上式可以寫(xiě)成：或者上三角矩陣！可以證明：?要使Gauss消去法能夠進(jìn)行下去，必須有約化后的主對(duì)角元素非零。問(wèn)：矩陣A在什么條件下能夠保證此條件成立？定理1.3下面，我們對(duì)一些特殊的矩陣，提出一些特定的分解法在實(shí)際計(jì)算中，用Gauss消去法解方程組，即使不為零，但其絕對(duì)值很小，也會(huì)導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差擴(kuò)散，從而會(huì)嚴(yán)重地?fù)p失精度！不能保證計(jì)算過(guò)程是數(shù)值穩(wěn)定的！注：例1.1用Gauss消去法解方程組，計(jì)算中取5位有效數(shù)字.解：消去是精確的！x√這說(shuō)明：在計(jì)算過(guò)程中若規(guī)定取5位有效數(shù)字，用消去法得到的近似解與準(zhǔn)確解相差很大！√這是因?yàn)椋河?.0003做除數(shù)，也會(huì)導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差擴(kuò)散，從而會(huì)嚴(yán)重地?fù)p失精度！因此，要控制舍入誤差。控制舍入誤差的增長(zhǎng)，通常有兩種途徑：1.增加參加計(jì)算的數(shù)字位數(shù)，從而使最后結(jié)果中積累起來(lái)的誤差隨之減小。例如：

采用雙精度，但增加計(jì)算時(shí)間.2.從上面的計(jì)算過(guò)程可知：有些運(yùn)算舍入誤差會(huì)擴(kuò)散，但有些運(yùn)算舍入誤差影響

比較小。例如：在做除法運(yùn)算時(shí)，分母的絕對(duì)值越小，舍入誤差影響就越大！第k行對(duì)于某些特殊類(lèi)型的系數(shù)矩陣，可以保證“主元不會(huì)很小”，從而不需要選主元！主元消去法的基本思想：在做除法運(yùn)算時(shí)，要選取絕對(duì)值比較大的做分母！定義1.1定理1.1定理1.2可保證：Gauss消去法能進(jìn)行下去！可保證：Gauss消去法不用選主元！列主元消去法計(jì)算步驟：1、輸入矩陣階數(shù)n，增廣矩陣

A(n,n+1);2、對(duì)于(1)按列選主元：選取l

使

(2)如果，交換A的第k行與底l

行元素(3)

消元計(jì)算：3、回代計(jì)算初始化消元過(guò)程列選主元回代過(guò)程第2節(jié)矩陣三角分解法—Gauss消去法的變體通過(guò)比較法，直接導(dǎo)出L和U的計(jì)算公式.思路①Doolittle分解法的計(jì)算公式：②(1)第k列第k行1(2)計(jì)算U的第k行和L的第k列已知①Crout分解法的計(jì)算公式：②(1)第k列第k行1(2)計(jì)算L的第k列和U的第k行已知①第k列第k行(1)(2)計(jì)算L的第k列.已知①第k列(1)(2)計(jì)算D的第k個(gè)元素,然后計(jì)算L的第k列②第k列乘到第一列已知②①(1)(2)計(jì)算:L的下次對(duì)角線(xiàn)上的第k個(gè)元素,U的主對(duì)角線(xiàn)上的第k個(gè)元素.③已知第k-1列第k行第3節(jié)誤差分析---討論解對(duì)參數(shù)擾動(dòng)的敏感性問(wèn)題.背景：例如：取兩組不同的右端項(xiàng)：比較兩方程組的右端項(xiàng)可以看出：右端項(xiàng)有微小的差別，誤差為|?|，但它們的解卻相差很大！誤差為1860|?|。討論的問(wèn)題：方程組原始數(shù)據(jù)的擾動(dòng)，會(huì)對(duì)其解產(chǎn)生怎樣的影響？?jī)煞匠探M的右端項(xiàng)極其靠近，解的差別卻可能很大！！幾種常用的向量范數(shù)：證明。參考《矩陣擾動(dòng)分析》按分量收斂！0常用的矩陣范數(shù)是按下式確定的范數(shù)：于是3.4擾動(dòng)方程組的誤差界若系數(shù)矩陣A和右端項(xiàng)b有一個(gè)擾動(dòng)，記為δA,δb,那么必引起解x的一個(gè)擾動(dòng)，記為δx，滿(mǎn)足為了定量地刻畫(huà)方程組的“病態(tài)”程度，下面對(duì)Ax=b就系數(shù)矩陣或者