e,e,a4一、單項選擇題(本大題共5題，每小題3分，共15)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、設G有6個元素的循環群，a是生成元，則的子集（）是子群。ABCD、

2、下面的代數系統（G，*）中）不是群A、G為整數集合，*為加法B、G為偶數集合，*為加法C、G為有理數集合，*為加法D、G為有理數集合，*為乘法3、在自然數集N上，下列哪種運算是可結合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4設2、

是三個置換其中1（12（243

=（1324

3

=（）A、

2

1

B、

1

2

C、

2

2

D、

25、任意一個具有2個或以上元的半群，它（A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交換群二填空題(本大題共10小題每空3分共30)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。凱萊定理說：任一個子群都同一個----------構。一個有單位元的無零因子-----稱為整環。已知群中的元素的階等于50，則的階等于------。a的階若是一個有限整數n，那么G與-------構。A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。若映是單射又是滿射，則-----------------。7、叫做域

的一個代數元，如果存在的-----0

使得n

。8代數系(A,0)的元素任xA均成x為--------。9、有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集G作成一個群，如果滿足

G對于乘法封閉；結合律成立、---------。10、一個環R對于加法來作成一個循環群，則是----------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）1、設集合是A上的置換群，H是G子群，H={I,(12)}，寫出H的所有陪集。2、設是有偶數做成的集合

?

”是數的乘法，則“

?

”是E中運算，

?

）是一個代數系統，問E，?）不是群，為什么？3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）若<G，*>是群，則對于任意的a、b∈G，必有惟一的∈G使得a*x。m是一個正整數定整數Z上的二元關系b當且僅m︱a–b。近世代模試題三一、單項選擇題(本大題共5題，每小題3分，共15)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（A、2階B、3階C、4階D、6階2、設G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個B、5個C、6個D、7個3、有限布爾代數的元素的個數一定等于（A、偶數B、奇數C、4的倍數D、2的正整數次冪4、下列哪個偏序集構成有界格（）ABC（{2,3,4,6,12},|（整除關系D、(P(A),5設S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}那么在S3中可以與123)交換的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二填空題(本大題共10小題每空3分共30)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、群的單位元是--------的，每個元素的逆元素是-------的。2、如果f是與A間的一一映射是A的一個元，則

f

----------。區間[1，2]上的運{min,}單位元是-------。可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。環Z零因子有-----------------------。8一個子群H的右、左陪集的個數----------從同構的觀點，每個群只能同構于他/它自己的--------。無零因子環R中所有非零元的共同的加法階數稱為的-----------。設G中元a的階mmn存在整除關系為-------。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？S，SA的子環，則S∩S也是子環。S+S也是子環嗎？1212123、設有置換

，

(234)(456)

。．．確定置奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）1、一個除環R只有兩個理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群，證明b=-1充分必要條件是=a=。B，，所以2近世代模試題一

參考答一、單項選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共分)。1、

；2、單位元；3、交換環；4、整數環5、變換群；6、同構;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）1、解：把和寫成不相雜輪換的乘積：

(1653)(247)(8)

可知為奇置換，為偶置換。

和可以寫成如下對換的乘積：

2、解：設A是任意方陣，令

1((AA2，2，則B是對稱矩陣，而是反對稱矩陣，且

A

。若令有

11，這里和1別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則

1

，而等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，于是兩邊必須都等于0，即：

11

，所以，表示法唯一。3、答

，

）不是群，因為

中有兩個不同的單位元素0和。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）1、對于G中任意元x，y，由于

xy)

2

xy

yx

（對每個x，從x可xx2、證明在F里a

(,bR,b有意義，作F的子集

aQbRb0)

顯然是R的一個商域

證畢。ZaZa近世代模試題二

參考答一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共分)。1、變換群2、交換環3、n乘余類加群5、{2}、一一映射7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；、交換環；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）1、解：H的3個右陪集為：{I,(12)}，{(123，(13)}，{(13)，(23)}H的3個左陪集為：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答?）不是群，因為（?）中無單位元。3、解方法一、輾轉相除法。列以下算式：=b+102=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第小題15分，共分）1、證明設群<G，*>的幺元。令x＝a，則＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b解。若xa*x＝b的解－1*a)*x－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易證明這樣的關系是Z的一個等價關系，把這樣定義的等價類集合記為Zm，每個整數a所在的等價類記為[｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可記為，稱之為模m剩余類。若m︱a–b也記為a。當m=2時，Z2僅含2個元：[0]與[1]。近世代模試題三

參考答一、單項選擇題(本大題共5題，每小題3分，共15)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二填空題(本大題共10小題每空3分共30)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1、唯一、唯一2；3、2；4；5、

、相等；7、商群；8特征；9、

mn

；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共分）解在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。證由上題子環的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1有a-b,ab∩S2：因為S1，S2是A的子環，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環。S1+S2不一定是子環。在矩陣環中很容易找到反例：3、解：1．，

(16524)

；2．兩個都是偶置換。四、證明題（