第五章大數定律及中心極限定理概率統(tǒng)計是研究隨機變量規(guī)律性的數學學科，而隨機現象的規(guī)律性只有對大量的隨機現象的考察中才能顯現出來，研究大量隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律，常常采用極限定理的形式去刻畫，由此導致對極限定理的研究，極限定理的內容非常廣泛，本章只討論大數定理和中心極限定理。第一部分

大數定律一、契比雪夫不等式三、基本定理二、典型例題四、小結一、契比雪夫不等式證明取連續(xù)型隨機變量的情況來證明.

切比雪夫不等式.,,)()及(成立不等式則對于任意正數方差具有數學期望設隨機變量定理εXDXEX得契比雪夫不等式的含義契比雪夫不等式用于估計X落入區(qū)間(E(X)-,E(X)+)的概率.當方差D(X)很小時,X落入區(qū)間(E(X)-,E(X)+)是大概率事件;X落入區(qū)間(E(X)-,E(X)+)之外是小概率事件..,,)()及(成立不等式則對于任意正數方差具有數學期望設隨機變量定理εXDXEX例5-1

設X是拋擲一枚骰子所出現的點數,若給定=2,2.5,實際計算P{|X-E(X)|},并驗證契比雪夫不等式成立.解:X的分布律為所以故二、典型例題例5-1

設X是拋擲一枚骰子所出現的點數,若給定=2,2.5,實際計算P{|X-E(X)|},并驗證契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/23/21/21/23/25/2123456X1/61/61/61/61/61/6P若=2,則P{|X-E(X)|}=P{|X-7/2|2}=1/3

可見契比雪夫不等式成立例5-1

設X是拋擲一枚骰子所出現的點數,若給定=2,2.5,實際計算P{|X-E(X)|},并驗證契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/23/21/21/23/25/2123456X1/61/61/61/61/61/6P若=2.5,則P{|X-E(X)|}=P{|X-7/2|2.5}=1/3

可見契比雪夫不等式成立例已知隨機變量X的期望E(X)=100,方差D(X)=10,估計X落在80到120內的概率.解定理5-2（貝努利大數定理）三、基本定理關于貝努利定理的說明:

故而當n很大時,事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.在實際應用中,當試驗次數很大時,便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率.獨立同分布隨機變量序列設隨機變量序列X1,X2,…,Xn,…是相互獨立的,若對任意的n>1,

X1,X2,…,Xn是相互獨立的,且所有的變量Xi又具有相同的分布,則稱X1,X2,…,Xn,…是獨立同分布隨機變量序列。定理5-3（獨立同分布隨機變量序列的契比雪夫大數定律）契比雪夫定理的特殊情況表達式的意義證明由契比雪夫不等式可得則關于定理5-3的說明:（這個接近是概率意義下的接近）即在定理條件下,n個隨機變量的算術平均,當n無限增加時,幾乎變成一個常數.定理5-3的另一種敘述:.

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),,2,1()(,)(,

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1221mmsm???====?=PnkkkknXXnXkXDXEXXX即依概率收斂于則均值和方差：且具有相同的數學期望相互獨立設隨機變量LLL四、小結兩個大數定理契比雪夫不等式貝努利大數定理契比雪夫定理的特殊情況頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎,而伯努利大數定理以嚴密的數學形式論證了頻率的穩(wěn)定性.第二部分中心極限定理一、問題的引入二、基本定理三、小結正態(tài)分布在概率論與數理統(tǒng)計中占有很重要的地位，在自然界與工程實踐中經常遇到大量的隨機變量都是服從正態(tài)分布的.在某些條件下，即使原來不服從正態(tài)分布的一些隨機變量，它們的和的分布當隨機變量的個數無限增加時也趨于正態(tài)分布。在概率論中，把有關論證隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布的一類定理稱為中心極限定理。一、問題的引入二、基本定理定理5-4（獨立同分布的中心極限定理）定理5-4表明:.,數標準正態(tài)分布的分布函的分布函數收斂于隨機變量序列當nYn￥?注：1、注：2、例5-3

對敵人的防御地段進行100次射擊，每次射擊的命中目標的炮彈數是一個隨機變量，其數學期望為2，均方差為1.5，求這100次射擊中有180顆到220顆炮彈命中目標的概率.解設Xi(i=1,2,…,100)為第i次射擊時命中目標的炮彈數，由于100次射擊時命中目標的炮彈數為則由題意Xi(i=1,2,…,100)同分布且相互獨立，

E(Xi)=2,D(Xi)=1.52則由定理5-4可知，隨機變量近似服從標準正態(tài)分布則例5-4

某種電器元件的壽命服從均值100（單位：小時）的指數分布，現隨機抽出16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時的概率.解設Xi(i=1,2,…,16)為第i只電器元件的壽命，由于16只電器元件的壽命總和為則由題意Xi(i=1,2,…,100)同分布且相互獨立，

E(Xi)=100,D(Xi)=1002則由定理5-4可知，隨機變量近似服從標準正態(tài)分布則證明根據前面伯努利大數定律定理5.5(德莫佛－拉普拉斯中心極限定理)ZnZnZn根據定理5-4得定理表明:正態(tài)分布是二項分布的極限分布,當n充分大時,可以利用該定理來計算二項分布的概率.Zn結論：在貝努利試驗中，若事件A發(fā)生的概率為p.則當n充分大，近似服從于正態(tài)分布解例5-5根據定理5-5，服從標準正態(tài)分布練習某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元.若老人在該年內死亡,公司付給家屬1萬元.設老年人死亡率為0.017,試求保險公司在一年內的這項保險中虧本的概率.練習

某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元.若老人在該年內死亡,公司付給家屬1萬元.設老年人死亡率為0.017,試求