第二章被控過程的數學模型

數學模型

用數學的方法來描述系統輸出量與輸入量之間的關系，這種系統特性的數學描述就稱為系統的數學模型。由于在過渡過程中，系統的輸出（即被控變量）隨時間而變化，因而在描述系統特性的數學模型中不僅會出現這些變量本身，而且也包含這些變量的各階導數，所以，系統特性方程式是微分方程式，它是表示系統數學模型最基本的形式。2.1概述2.1概述建立數學模型的意義

在研究與分析一個控制系統時，不僅要定性地了解系統的工作原理及特性，而且還要定量地描述系統的動態性能。設計控制系統和整定調節器的參數。尤其實現生產過程的最優控制，不充分掌握數學模型，無法最優設計。指導生產工藝及其設備的設計。

可以確定有關因素對整個被控過程的影響，起到指導作用。對被控過程進行數學模型仿真研究。

可以獲取代表或逼近真實過程的大量數據，為控制系統設計和調試提供大量所需信息，降低設計成本和加快設計進度。這些都離不開數學模型。過程數學模型的兩種描述形式：

非參量形式和參量形式非參量形式

用曲線或數據表格表示?？梢酝ㄟ^記錄實驗結果得到，有時也可以通過計算得到，它的特點是形象、清晰，比較容易看出其定性的特征。但是，由于它們缺乏數學方程的解析性質，要直接利用它來進行系統的分析和設計往往比較困難，必要和可能時，可以對它們進行一定的數學處理來得到參量模型的形式。2.1概述參量形式：

當數學模型是采用數學方程式來描述時，稱為參量模型。參量模型按其討論域可分為時域模型、復數域模型和頻域模型。時域模型包括微分方程、差分方程等，其特點是具有直觀、準確的優點，不足之處是當系統的結構改變或某個參數變化時，就要重新列寫并求解微分方程。(a)微分方程對于線性連續的控制系統，通常用常系數線性微分方程式來描述，如果以r(t)表示輸入量，C(t)表示輸出量，則系統特性可用下列微分方程式來描述：2.1概述

式中及分別為與系統結構和參數有關的常系數。它們與系統的特性有關，一般需要通過系統的內部機理分析或大量的實驗數據處理才能得到。2.1概述(b)傳遞函數復數域模型包括系統傳遞函數和結構圖，傳遞函數不僅可以表征系統的動態特性，而且可以用來研究系統的結構或參數變化對系統性能的影響。

線性定常系統的傳遞函數定義為零初始條件下，輸出量（響應函數）的拉普拉斯變換與輸入量（輸入函數）的拉普拉斯變換之比。拉普拉斯變換為：2.1概述

傳遞函數三要素：線性定常系統；零初始條件；輸出與輸入的拉氏變換之比。

零初始條件：輸入及其各階導數在t=0-時刻均為0；輸出及其各階導數在t=0-時刻均為0。形式上記為：2.1概述傳遞函數的性質：1）傳遞函數是復變量s的有理真分式函數；2）傳遞函數僅與系統自身的結構和參數有關，與系統輸入量形式無關；3）傳遞函數與微分方程有相通性，可相互轉換；4）傳遞函數是系統單位脈沖響應的拉氏變換。2.1概述傳遞函數列寫大致步驟：方法一：列寫系統的微分方程；消去中間變量；在零初始條件下取拉氏變換；求輸出與輸入拉氏變換之比；方法二：列寫系統中各元件的微分方程；在零初始條件下求拉氏變換；整理拉氏變換后的方程組，消去中間變量；整理成傳遞函數的形式；2.1概述(c)頻率特性

頻域模型主要描述系統的頻率特性，應用頻率特性在實際工作中不需要進行大量的計算，就能比較迅速地分析系統中各個參量對系統性能的影響以及可以直接研究閉環系統的穩定性，而不必求出系統的特征根。將傳遞函數中換成，即為頻率特性。因此，如果已知各個環節的傳遞函數，就不需要逐一推導每個環節的頻率特性，而是以代替求取。反之把頻率特性中換成，就可得到該環節或系統的傳遞函數。2.1概述建立數學模型的方法：物理機理方法建模

根據過程的內在機理，運用已知的靜態和動態的能量（物料）平衡關系，用數學推理的方法建立數學模型。實驗辨識（系統辨識和參數估計法）

根據過程輸入、輸出的實驗測試數據，通過辨識和參數估計建立過程的數學模型?；旌戏?/p>

首先通過機理分析確定過程模型的結構形式，然后利用實驗測試數據來確定模型中各參數的大小。2.1概述2.2采用物理機理方法建模(1)單容過程的建模

只有一個存儲容量的過程。自衡單容過程和無自衡單容過程。自衡過程：被控過程在擾動作用下，平衡狀態被破壞后，無需操作人員或儀表的干預，依靠自身能夠恢復平衡的過程。無自衡過程：被控過程在擾動作用下，平衡狀態被破壞后，若無操作人員或儀表的干預，依靠自身能力不能恢復平衡的過程。自衡過程的階躍響應圖無自衡過程的階躍響應圖例1：右圖為單容液位過程，液位高度h為被控量，液體體積流量Q1為控制量，閥1的開度控制Q1，由閥2控制Q2。建立該過程的數學模型。解:最終求解的數學模型是h和Q1的關系。依據：動態能量平衡。（指單位時間內流入與流出能量之差等于被控過程內能量存儲量的變化量。）

2.2物理機理方法建模增量形式:動態能量平衡:(1)(2)2.2物理機理方法建模(3)將（3）式帶入（2）式，可得微分方程：(4)帶有純時延的單容過程：若以Q0為控制量，閥門1變化后，Q0流經長度為L的管道后進入貯罐，液位才能變化。Τ0：指純時延時間。Q0流經為L的管道需要時間。2.2物理機理方法建模2.2物理機理方法建模單容過程的階躍響應無時延的階躍響應有時延階躍響應例2

右圖為由電爐和加熱容器組成的溫度過程。容器內水溫T1保持恒定，為被控參數，即輸出量。電爐連續給水供熱Q1為輸入量（控制參數）。盛水容器向室內散發熱量Q2，室溫為T2，試建立溫度過程的數學模型。2.2物理機理方法建模（1）2.2物理機理方法建模散失熱量Q2為：式中，Kr-傳熱系數，A-面積，T2-室內溫度。（2）保溫材料的熱阻：（3）將(2)(3)帶入(1)，用增量表示，微分方程為：(4)2.2物理機理方法建模檢測儀表數學模型

Km(s)=1/(0.1s+1)執行器和調節閥數學模型

Ka(s)=1/(0.1s+1)PID調節器的數學模型

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