第二章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)思考1：在初中我們學(xué)過(guò)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本信息的數(shù)字特征，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)如何求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？思考2：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個(gè)小矩形內(nèi)？由此估計(jì)總體的眾數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O取最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.25作為眾數(shù).思考4：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個(gè)小矩形的面積分別是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估計(jì)總體的中位數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.01÷0.5=0.02，中位數(shù)是2+0.02=2.02.思考3：在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積表示什么？中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積應(yīng)有什么關(guān)系？思考5：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個(gè)小矩形的重心在哪里？從直方圖估計(jì)總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少？0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.

月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考6：根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)期望原理，將頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù).由此估計(jì)總體的平均數(shù)是什么？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均數(shù)是2.02.思考7：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是2.3，中位數(shù)是2.0，平均數(shù)是1.973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？

頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個(gè)估計(jì)值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān).注:在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計(jì)總體特征.思考8：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)，你能舉例說(shuō)明嗎？樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)說(shuō)明什么問(wèn)題？你怎樣理解“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話的含義？

如：樣本數(shù)據(jù)收集有個(gè)別差錯(cuò)不影響中位數(shù)；大學(xué)畢業(yè)生憑工資中位數(shù)找單位可能收入較低.

平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)中存在許多較大（或較小）的極端值.

這句話具有模糊性甚至蒙騙性，其中收入水平是員工工資的某個(gè)中心點(diǎn)，它可以是眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù).（二）：標(biāo)準(zhǔn)差

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.思考1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677

甲、乙兩人本次射擊的平均成績(jī)分別為多少環(huán)？思考2：甲、乙兩人射擊的平均成績(jī)相等，觀察兩人成績(jī)的頻率分布條形圖，你能說(shuō)明其水平差異在那里嗎？環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（乙）甲的成績(jī)比較分散，極差較大，乙的成績(jī)相對(duì)集中，比較穩(wěn)定.環(huán)數(shù)思考3：對(duì)于樣本本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，設(shè)想通過(guò)過(guò)各數(shù)據(jù)到到其平均數(shù)數(shù)的平均距距離來(lái)反映映樣本數(shù)據(jù)據(jù)的分散程程度，那么么這個(gè)平均均距離如何何計(jì)算？思考4：反映樣本本數(shù)據(jù)的分分散程度的的大小，最最常用的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，一一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為為，則則標(biāo)準(zhǔn)差的的計(jì)算公式式是：那么標(biāo)準(zhǔn)差差的取值范范圍是什么么？標(biāo)準(zhǔn)差差為0的樣本數(shù)據(jù)據(jù)有何特點(diǎn)點(diǎn)？s≥0，標(biāo)準(zhǔn)差為為0的樣本數(shù)據(jù)據(jù)都相等.思考5：對(duì)于一個(gè)容量為2的樣本：x1，x2(x1<x2)，則,在數(shù)軸上，這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有什么幾何意義？由此說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差的大小對(duì)數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？標(biāo)準(zhǔn)差越大大離散程度度越大，數(shù)數(shù)據(jù)較分散散；標(biāo)準(zhǔn)差差越小離散散程度越小小，數(shù)據(jù)較較集中在平平均數(shù)周圍圍.知識(shí)補(bǔ)充1.標(biāo)準(zhǔn)差的平平方稱稱為方差，，有時(shí)用方方差代替標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量量樣本數(shù)據(jù)據(jù)的離散度度.方差與標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差的測(cè)量量效果是一一致的，在在實(shí)際應(yīng)用用中一般多多采用標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差.2.現(xiàn)實(shí)中的總總體所包含含的個(gè)體數(shù)數(shù)往往很多多，總體的的平均數(shù)與與標(biāo)準(zhǔn)差是是未知的，，我們通常常用樣本的的平均數(shù)和和標(biāo)準(zhǔn)差去去估計(jì)總體體的平均數(shù)數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差差，但要求求樣本有較較好的代表表性.例1畫出下列四四組樣本數(shù)數(shù)據(jù)的條形形圖，說(shuō)明他們的的異同點(diǎn).(1)５，５，５５，５，５５，５，５５，５，５５；(2)４，４，４４，５，５５，５，６６，６，６６；O頻率1.00.80.60.40.212345678

（1）O頻率1.00.80.60.40.212345678

（2）樣本數(shù)字特特征例題分分析(3)３，３，４４，４，５５，６，６６，７，７７；(4)２，２，２２，２，５５，８，８８，８，８８.頻率1.00.80.60.40.212345678

O（3）頻率1.00.80.60.40.212345678

O（4）例2甲、乙兩人人同時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零件件，為了對(duì)對(duì)兩人的生生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)進(jìn)行評(píng)比，，從他們生生產(chǎn)的零件件中各隨機(jī)機(jī)抽取20件，量得其其內(nèi)徑尺寸寸如下（單單位：mm）：甲：乙：從生產(chǎn)零件件內(nèi)徑的尺尺寸看，誰(shuí)誰(shuí)生產(chǎn)的零零件質(zhì)量較較高？甲生產(chǎn)的的零件內(nèi)內(nèi)徑更接接近內(nèi)徑徑標(biāo)準(zhǔn)，，且穩(wěn)定定程度較較高，故故甲生產(chǎn)產(chǎn)的零件件質(zhì)量較較高.說(shuō)明：1.生產(chǎn)質(zhì)量可以以從總體的平平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差兩個(gè)角度度來(lái)衡量，但但甲、乙兩個(gè)個(gè)總體的平均均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差差都是不知道道的，我們就就用樣本的平平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差估計(jì)總體體的平均數(shù)與與標(biāo)準(zhǔn)差.2.問(wèn)題中25.40mm是內(nèi)徑的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)值，而不是是總體的平均均數(shù).例3以往招生統(tǒng)計(jì)計(jì)顯示，某所所大學(xué)錄取的的新生高考總總分的中位數(shù)數(shù)基本穩(wěn)定在在550分，若某同學(xué)學(xué)今年高考得得了520分，他想報(bào)考考這所大學(xué)還還需收集哪些些信息？要點(diǎn)：（1）查往年錄取取的新生的平平均分?jǐn)?shù).若平均數(shù)小于于中位數(shù)很多多，說(shuō)明最低低錄取線較低低，可以報(bào)考考；（2）查往年錄取取的新生高考考總分的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差.若標(biāo)準(zhǔn)差較大大，說(shuō)明新生生的錄取分?jǐn)?shù)數(shù)較分散，最最低錄取線可可能較低，可可以考慮報(bào)考考.例4在去年的足球球甲A聯(lián)賽中，甲隊(duì)隊(duì)每場(chǎng)比賽平平均失球數(shù)是是1.5，全年比賽失失球個(gè)數(shù)的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差為1.1；乙隊(duì)每場(chǎng)比比賽平均失球球數(shù)是2.1，全年比賽失失球個(gè)數(shù)的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差為0.4.你認(rèn)為下列說(shuō)說(shuō)法是否正確確，為什么？？（1）平均來(lái)說(shuō)甲甲隊(duì)比乙隊(duì)防防守技術(shù)好；；（2）乙隊(duì)比甲隊(duì)隊(duì)技術(shù)水平更更穩(wěn)定；（3）甲隊(duì)有時(shí)表表現(xiàn)很差，有有時(shí)表現(xiàn)又非非常好；（4）乙隊(duì)很少不不失球.小結(jié)作業(yè)1.對(duì)同一個(gè)總體體，可以抽取取不同的樣本本，相應(yīng)的平平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差都會(huì)發(fā)生生改變.如果樣本的代代表性差，則則對(duì)