§2.4函數的奇偶性與周期性

考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考2.4函數的奇偶性與周期性雙基研習·面對高考雙基研習·面對高考1．函數的奇偶性基礎梳理奇偶性定義圖象特點偶函數如果函數f(x)的定義域內任意一個x都有___________，那么函數f(x)是偶函數關于____對稱奇函數如果函數f(x)的定義域內任意一個x都有_____________，那么函數f(x)是奇函數關于____對稱f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點2.函數的周期性(1)周期的定義一般地，對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有____________，則稱函數f(x)為周期函數，非零常數T稱為函數f(x)的周期．(2)最小正周期對于一個周期函數f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數叫做f(x)的____________．f(x＋T)＝f(x)最小正周期思考感悟1．奇、偶函數的定義域有什么特點？提示：奇、偶函數的定義域在數軸上都關于原點對稱．2．存在既是奇函數又是偶函數的函數嗎？提示：存在，f(x)＝0(x∈R)．1．(教材例4改編)設f(x)＝x3＋2x，g(x)＝2x4＋3x2，則y＝f(x)·g(x)是(

)A．奇函數B．偶函數C．既是奇函數又是偶函數

D．非奇非偶函數答案：A課前熱身答案：A答案：A5．f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數，則f(3)＝__________.答案：0首先先判判定定函函數數的的定定義義域域．．定定義義域域關關于于原原點點對對稱稱是是函函數數存存在在奇奇偶偶性性的的必必要要條條件件，，再再判判定定函函數數f(x)是否否滿滿足足奇奇偶偶性性的的定定義義或或者者圖圖象象特特征征，，對對于于分分段段函函數數要要逐逐段段討討論論．．參參考考小小結結與與復復習習例例3.考點探究·挑戰高考考點一函數奇偶性的判定考點突破例1【思路路分分析析】可從從定定義義域域入入手手，，在在定定義義域域關關于于原原點點對對稱稱情情況況下下，，考考查查f(－x)與f(x)的關關系系．．【誤區區警警示示】對于于(1)只代代入入－－x而得得出出偶偶函函數數結結論論，，對對于于(2)易丟丟掉掉定定義義域域，，對對于于(3)只判判斷斷一一部部分分．．函數數的的周周期期性性是是指指函函數數的的重重復復性性變變化化，，是是對對于于定定義義域域內內的的所所有有自自變變量量x來說的的，不不是指指某幾幾個特特定的的自變變量，，若T是它的的一個個周期期，則則nT(n∈Z，n≠0)也是該該函數數的一一個周周期．．考點二函數的周期性設f(x)是定義義在R上的奇奇函數數，且且對任任意實實數x恒滿足足f(x＋2)＝－f(x)，(1)求f(0)的值，，f(2)的值．．(2)證明f(x)是周期期函數數，并并求最最小正正周期期．【思路流流程】(1)x＝0→f(0)→f(2)；(2)f(x＋4)→→f(x＋2)→→T.例2【解】(1)∵f(x)是定義義在R上的奇奇函數數，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，當x＝0時，f(2)＝－f(0)＝0.(2)證明：：由f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期期為4的周期期函數數．互動探探究1在本例例中條條件不不變，，當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.當x∈[2,4]時，求求f(x)的解析析式．．有關函函數問問題，，要充充分考考慮到到它的的所有有性質質：定定義域域、值值域，，最值值、奇奇偶性性、單單調性性、周周期性性、并并結合合圖象象綜合合運用用．考點三函數性質的綜合應用例3【思路分分析】(1)x1＝x2＝1→f(1)；(2)令x1＝－1→f(－x)＝f(x)；(3)x＝1對稱→f(x)＝f(2－x)→f(x)＝f(2＋x)．方法技技巧1．奇、、偶函函數的的性質質(1)設函數數f(x)，g(x)的定義義域分分別是是D1，D2，那么么在它它們公公共定定義域域上有有：當當f(x)，g(x)均為奇奇函數數時，，f(x)＋g(x)是奇函函數，，f(x)·g(x)是偶函函數；；當f(x)，g(x)均為偶偶函數數時，，f(x)＋g(x)是偶函函數，，f(x)·g(x)是偶函函數；；奇函函數的的反函函數也也是奇奇函數數．如如課前前熱身身1、2.方法感悟(2)若f(x)是偶函函數??f(x)＝f(|x|)；若奇奇函數數f(x)的定義義域內內含有有數0，則必必有f(0)＝0.如例2.(3)若函數數f(x)為奇函函數，，在[a，b]上為增增函數數，則則f(x)在[－b，－a]上為增增函數數．若函數數f(x)為偶函函數，，在[a，b]上為增增函數數，則則f(x)在[－b，－a]上為減減函數數．(4)函數奇奇偶性性的判判定方方法①利用用定義義f(x)是奇函函數??f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0.f(x)是偶函函數??f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0.②利用用圖象象的對對稱性性f(x)是奇函函數??f(x)的圖象象關于于____對稱．．f(x)是偶函函數??f(x)的圖象象關于于____對稱．．2．函數數的“周期性性”與“對稱性性”的伙伴伴關系系(1)設a為非零常常數，若若對于f(x)的定義域域內的任任意x，恒有下下列條件件之一成成立．原點y軸失誤防范范1．判斷函函數的奇奇偶性，，首先應應該判斷斷函數定定義域是是否關于于原點對對稱．定定義域關關于原點點對稱是是函數具具有奇偶偶性的一一個必要要條件．．如例1的(1)、(2)．2．判斷分分段函數數奇偶性性時，要要以整體體的觀點點進行判判斷，不不可以利利用函數數在定義義域某一一區間上上不是奇奇偶函數數而否定定函數在在整個定定義域上上的奇偶偶性．如如例1(3)．3．奇偶性性和周期期性都是是函數的的整體性性質．奇奇偶性是是解決函函數圖象象的對稱稱性問題題，周期期性是解解決函數數圖象的的平移問問題．單單調性是是函數的的局部性性質，要要注意區區分對于于偶函數數y＝f(x)，f(a)<f(b)?f(|a|)<f(|b|)，如例3.4．并不是是所有的的周期函函數都有有最小正正周期．．考向瞭望·把脈高考函數的奇奇偶性、、周期性性是高考考命題的的熱點．．從這兩兩年的高高考試題題來看，，主要是是奇偶性性與單調調性的小小綜合，，周期性性的考查查常以利利用周期期性求函函數值，，以選擇擇題、填