§2.13定積分和微積分基本定理

§2.13定積分和微積分基本定理考向瞭望?把脈高考考點探究?挑戰高考考向瞭望?把脈高考雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理f(x)dx2．定積分的性質kf(x)dx3．微積分基本定理一般地，如果f(x)是區間[a，b]上的連續函數，并且F′(x)＝f(x)，那么

f(x)dx＝_________，這個結論叫作微積分基本定理，為了方便，我們常把F(b)－F(a)記成________，即

f(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)F(x)|4．定積分的幾何意義(1)當函數f(x)在區間[a，b]上恒為正時，定積分

f(x)dx的幾何意義是由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖1陰影部分)．(2)一般情況下，定積分

f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線x＝a、x＝b之間的曲邊梯形面積的和(圖2陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區間上積分值的相反數．思考感悟你能用定積分的幾何意義解釋其性質(2)嗎？提示：如圖所示，設在區間[a，b]上恒有f(x)≥0，c是區間(a，b)內的一點，那么從幾何圖形上看，直線x＝c把大的曲邊梯形分成了兩個小曲邊梯形，因此，大曲邊梯形的面積S是兩個小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即S＝S1＋S2，用定積分表示就是性質(2)．課前熱身答案：C答案：：D4．(原創題題)定積分分(2x－x3)dx的值為________．答案：05．已知t>0，若答案：3考點探究?挑戰高考考點突破考點一定積分的計算利用微積積分基本本定理求求定積分分，其關關鍵是求求出被積積函數的的原函數數，求一一個函數數的原函函數與求求一個函函數的導導數是互互逆運算算，因此此應注意意掌握一一些常見見函數的的導數．．例1求下列定定積分：：【思路點撥撥】先由定積積分的性性質將其其分解為為簡單的的定積分分問題再再求解．．【名師點評評】利用微積積分基本本定理求變式訓練練1計算以下下定積分分：(1)(2x2－)dx；(2)(sinx－sin2x)dx；(3)|3－2x|dx.考點二定積分的幾何意義利用定積積分求平平面圖形形面積的的關鍵是是畫出幾幾何圖形形，結合合圖形位位置，確確定積分分區間以以及被積積函數，，從而得得到面積積的積分分表達式式，再利利用微積積分基本本定理求求出積分分值．例2【思路點撥撥】需根據面面積求出出切點坐坐標．這這又需要要畫出函函數y＝x2(x≥0)及切線的的圖形，，再根據據定積分分的幾何何意義，，求函數數y＝x2(x≥0)的定積分分，從而而確定相相關圖形形的面積積，即可可求出切切點坐標標，其他他問題便便可順利利解決．．【名師點評評】用定積分分計算平平面區域域的面積積，首先先要確定定已知曲考點三定積分的綜合應用應用導數與定定積分求面積積的最值，其其基本思路是是：將面積表表示成某個變變量的函數，，利用函數的的有關知識求求解；如果常常規方法不容容易求出，不不要忘記用定定積分求曲邊邊梯形的面積積；如果陰影影部分的邊界界不同，可分分不同情況討討論來解決．．例3如圖，已知曲曲線C1：＝x2與曲線C2：y＝－x2＋2ax(a＞1)交于點O，A，直線x＝t(0＜t≤1)與曲線C1，C2分別相交于點點D，B，連結OD，DA，AB.(1)寫出曲邊四邊邊形ABOD(陰影部分)的面積S與t的函數關系式式S＝f(t)；(2)求函數S＝f(t)在區間(0,1]上的最大值．．【思路點撥】(1)曲邊四邊形ABOD分為△ABD和曲邊三角形形ODB，求出A，B，D三點的坐標，，可求面積．．(2)可利用導數求求最大值．方法感悟方法技巧1．求定積分的的方法(1)利用定義求定定積分(定義法)，可操作性不不強．(2)利用微積分基基本定理求定定積分步驟如如下：①求被積函數數f(x)的一個原函數數F(x)；②計算F(b)－F(a)．(如例1)2．求曲邊多邊邊形的面積其步驟為：(1)畫出草圖，在在直角坐標系系中畫出曲線線或直線的大大致圖像．(2)借助圖形確定定被積函數，，求出交點坐坐標，確定積積分的上限、、下限．(3)將曲邊梯形的的面積表示為為若干定積分分之和．(4)計算定積分．．(如例3)失誤防范1．被積函數若若含有絕對值值號，應去絕絕對值號，再再分段積分．．2．若積分式子子中有幾個不不同的參數，，則必須先分分清誰是被積積變量．3．定積分式子子中隱含的條條件是積分上上限不小于積積分下限．4．定積分的幾幾何意義是曲曲邊梯形的面面積，但要注注意：面積非非負，而定積積分的結果可可以為負．5．將要求面積積的圖形進行行科學而準確確的劃分，可可使面積的求求解變得簡捷捷．考情分析考向瞭望?把脈高考定積分是高考考的知識點之之一，內容要要求較低，考考查重點是定定積分的簡單單計算與應用用，題型均為為小題，難度度中低檔．預測2012年高考將與線線性規劃，幾幾何概型等與與面積有關問問題綜合考查查定積分的簡簡單應用，重重點考查計算算能力與數形形結合思想．．真題透析例(2010年高考陜西卷卷)從如圖所示的的長方形區域域內任取一個個點M(x，y)，則點M取自陰影部分分的概率為________．【名師點評】(1)本題易失誤的的是：①求不出陰影部部分的面積；；②在求陰影部分分面積時，將將積分上限誤誤認為“3”；③不能正確求出出被積函數原原函數，對微微積分基本定定理認識模糊糊，運算能力力差等都會導導致本題出錯錯．(2)根據微積分基基本定理計算算定積分的關關鍵是找到一一個函數，使使這個函數的的導數等于被被積函數，記記準基本初等等函數的導數數公式能幫助助我們快速找找到與被積函函數對應的原原函數，同時時還要合理地地利用定積分分的性質和函函數的性質簡簡化計算．(3)求一些曲邊圖圖形的面積可可以利用定積積分的幾何意意義以及微積積分基本定理理，但要特別別注意圖形面面積與定積分分不一定相等等，如函數y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像與x軸圍成的圖形形的面積為4，而其定積分分為0.名師預測1．如圖所示，，陰影部分的的面積是()A．16B．18C．20D．