第四章地球橢球數(shù)學(xué)投影的基本理論1

4.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系4.2橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.3橢球面上的幾種曲率半徑

4.4橢球面上的弧長計(jì)算4.5大地線

4.6將地面觀測值歸算至橢球面

4.7大地測量主題解算概述

4.8地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念

4.9高斯平面直角坐標(biāo)系

4.10橫軸墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.11蘭勃脫投影概述本章的主要內(nèi)容24.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系

地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)(或稱元素):長半軸ａ短半軸ｂ橢圓的扁率橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率通常用a,

3為簡化書寫，還常引入以下符號橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系44.2橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.1各種坐標(biāo)系的建立1、大地坐標(biāo)系大地經(jīng)度B大地緯度L大地高H

52、空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)位于總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心；Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)G；Y軸與此平面垂直，且指向東為正。地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。

常用坐標(biāo)系及其關(guān)關(guān)系63、子午面直角坐標(biāo)系

設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L，在過P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x,y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L,x,y表示。常用坐標(biāo)系及其關(guān)系74、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系

設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系;以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長Ｐ２Ｐ與輔助圓相交Ｐ１點(diǎn)，則OP１與x軸夾角稱為P點(diǎn)的歸化緯度u。

常用坐標(biāo)系及其關(guān)系8常用坐標(biāo)系及其關(guān)系5、大地極坐標(biāo)系

M是橢球面上一點(diǎn)，MN是過M的子午線，S為連接MP的大地線長，A為大地線在M點(diǎn)的方位角。以M為極點(diǎn)；

MN為極軸；

P點(diǎn)極坐標(biāo)為（S,A)9常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.2

坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系

10常用坐標(biāo)系及其關(guān)系

令:

pn=N11常用坐標(biāo)系及其關(guān)系空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系12常用坐標(biāo)系及其關(guān)系

空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系在橢球面上的點(diǎn)：不在橢球面上的點(diǎn)：13常用坐標(biāo)系及其關(guān)系由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)14B、u、φ之間的關(guān)系

B和u之間的關(guān)系

常用坐標(biāo)系及其關(guān)系15常用坐標(biāo)系及其關(guān)系U、φ之間的關(guān)系Ｂ、φ之間的關(guān)系大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)B=45°時(shí)164.3橢球面上的幾種曲率半徑

過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。子午圈曲率半徑17橢球面上幾種曲率半徑18橢球面上幾種曲率半徑19卯酉圈曲率半徑(N)

卯酉圈:過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。麥尼爾定理:

假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。橢球面上幾種曲率半徑20橢球面上幾種曲率半徑21卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn):

卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。

橢球面上幾種曲率半徑22主曲率半徑的計(jì)算

以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。

橢球面上幾種曲率半徑23橢球面上幾種曲率半徑24橢球面上幾種曲率半徑2526任意法截弧的曲率半徑

橢球面上幾種曲率半徑27

任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律:

ＲＡ不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法截弧的方位角A有關(guān)。當(dāng)Ａ＝０°時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即Ｒ０＝Ｍ；當(dāng)ＲＡ＝90°時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半徑M及N分別是ＲＡ的極小值和極大值。當(dāng)A由0°→90°時(shí)，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，當(dāng)A由90°→180°時(shí)，ＲＡ值由N→Ｍ，可見ＲＡ值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。

橢球面上幾種曲率半徑28平均曲率半徑

橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑R等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。

橢球面上幾種曲率半徑29M，N，R的關(guān)系

橢球面上幾種曲率半徑30對于克拉索夫斯基橢球橢球面上幾種曲率半徑314.4橢球面上的弧長計(jì)算子午線弧長計(jì)算公式

32橢球面上的弧長計(jì)算33橢球面上幾種曲率半徑34如果以B＝90°代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長約為10002137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約為40008549.995m。即一象限子午線弧長約為10000km，地球周長約為40000km。為求子午線上兩個(gè)緯度B１及Ｂ２間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應(yīng)的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，該ΔＸ即為所求的弧長。當(dāng)弧長甚短(例如X≤40km，計(jì)算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午圈的曲率半徑Mｍ

橢球面上的弧長計(jì)算35由子午弧長求大地緯度

迭代解法:

平行圈弧長公式

橢球面上的弧長計(jì)算36橢球面上的弧長計(jì)算子午線弧長和平行圈弧長變化的比較374.5大地線

兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢?它應(yīng)是大地線。相對法截線

38相對法截線

大地線39相對法截線的特點(diǎn):當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A，B，C三個(gè)點(diǎn)處所測得的角度(各點(diǎn)上正法截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。

大地線40大地線大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫大地線。41

大地線的性質(zhì):大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角

在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。長度差異可忽略,方向差異需改化。

大地線42補(bǔ)充內(nèi)容：球面直角三角形的球面三角公式

任一元素的余弦等于不相鄰兩元素的正弦之積43任一元素的余弦等于相鄰兩元素的余切之積44大地線的微分方程和克萊勞方程

大地線的微分方程45大地線的微分方程46大地線的微分方程大地線的克萊勞方程

在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù)47當(dāng)大地線穿越赤道時(shí)當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí)由克萊勞方程可以寫出

484.6將地面觀測值歸算至橢球面

觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。

歸算的兩條基本要求：

①以橢球面的法線為基準(zhǔn)；②將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。將地面觀測的水平方向歸算至橢球面

將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三差改正。

49垂線偏差改正

以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以ξ,η表示，M是地面觀測目標(biāo)m在球面上的投影。垂線偏差對水平方向的影響是(R-R1)

地面觀測值歸算至橢球面50標(biāo)高差改正

地面觀測值歸算至橢球面51截面差改正

地面觀測值歸算至橢球面52