第二節(jié) 等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念．2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．3．能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.1．等差數(shù)列的有關(guān)定義(1)一般地，如果一個(gè)數(shù)列從

起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為

(n∈N*，d為常數(shù))．第二項(xiàng)差an＋1－an＝d3．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有

，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，

.注：此性質(zhì)常和前n項(xiàng)和Sn結(jié)合使用．(2)等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列為

；若d<0，則數(shù)列為

；若d＝0，則數(shù)列為

am＋an＝ap＋aqam＋an＝2ap遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列．1．已知等差數(shù)列{an}中a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an為(

)A．2n

B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋2解析：由已知得：(a7＋a8)－(a1＋a2)＝12d＝24，∴d＝2，∴a1＋a1＋d＝4，∴a1＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：C3．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項(xiàng)的和S10等于(

)A．138 B．135C．95 D．23解析：∵a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6.5．已知等差數(shù)數(shù)列{an}其前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________.解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.答案：60[例1]等差數(shù)列{an}的前前n項(xiàng)和和記記為為Sn，已已知知a10＝30，a20＝50.(1)求通通項(xiàng)項(xiàng)an；(2)若Sn＝242，求求n.即時(shí)時(shí)訓(xùn)訓(xùn)練練設(shè){an}是一一個(gè)個(gè)公公差差為為d(d≠0)的等等差差數(shù)數(shù)列列，，它它的的前前10項(xiàng)和和S10＝110且a1，a2，a4成等等比比數(shù)數(shù)列列．．(1)證明明：：a1＝d；(2)求公公差差d的值值和和數(shù)數(shù)列列{an}的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式．．(1)證明明：：因a1，a2，a4成等等比比數(shù)數(shù)列列，，故故a22＝a1a4.而{an}是等等差差數(shù)數(shù)列列，，有有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d.于是是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a12＋2a1d＋d2＝a12＋3a1d.化簡(jiǎn)得a1＝d.熱點(diǎn)之二等差數(shù)列的判判定與證明證明一個(gè)數(shù)列列{an}是等差數(shù)列的的基本方法有有兩種：一是是利用等差數(shù)數(shù)列的定義法法，即證明an＋1－an＝d(n∈N*)，二是利用等等差中項(xiàng)法，，即證明：an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．在選擇方法法時(shí)，要根據(jù)據(jù)題目條件的的特點(diǎn)，如果果能夠求出數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公公式，則利用用定義法，否否則，可以利利用等差中項(xiàng)項(xiàng)法．即時(shí)訓(xùn)練已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為為an＝pn2＋qn(p、q為常數(shù))，(1)當(dāng)p和q滿足什么條件件時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列；；(2)求證：對(duì)任意意實(shí)數(shù)p、q，數(shù)列列{an＋1－an}是等差差數(shù)列列．解：(1)設(shè)數(shù)列列{an}是等差差數(shù)列列，則an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，應(yīng)是是一個(gè)個(gè)與n無(wú)關(guān)的的常數(shù)數(shù)，所以有有2p＝0，即p＝0，q∈R.(2)因?yàn)閍n＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，所以(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常數(shù))，所以，，數(shù)列列{an＋1－an}是等差差數(shù)列列．熱點(diǎn)點(diǎn)之之三三等差差數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)及及應(yīng)應(yīng)用用等差差數(shù)數(shù)列列的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單性性質(zhì)質(zhì)：：已知知數(shù)數(shù)列列{an}是等等差差數(shù)數(shù)列列，，Sn是其其前前n項(xiàng)和和．．(1)若m＋n＝p＋q，則則am＋an＝ap＋aq.特別別：：若若m＋n＝2p，則則am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是是等等差差數(shù)數(shù)列列，，公公差差為為kd.(3)數(shù)列列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是是等等差差數(shù)數(shù)列列．．即時(shí)時(shí)訓(xùn)訓(xùn)練練(1)設(shè)等等差差數(shù)數(shù)列列{an}的前前n項(xiàng)和和為為Sn.若S9＝72，則則a2＋a4＋a9＝________.(2)等差差數(shù)數(shù)列列{an}的前前n項(xiàng)和和為為Sn，若若S2＝2，S4＝10，則則S6等于于()A．12B．18C．24D．42[例4]在等等差差數(shù)數(shù)列列{an}中，，已已知知a1＝20，前前n項(xiàng)和和為為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)時(shí)，Sn有最大值值，并求求出它的的最大值值．[思路探究究]此題可有有多種解解法，一一般可先先求出通通項(xiàng)公式式，利用用不等式式組確定定正負(fù)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，，或者利利用性質(zhì)質(zhì)確定正正負(fù)轉(zhuǎn)折折項(xiàng)，然然后求其其和的最最值．∴12≤≤n≤13，n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值值，S12＝S13＝130.解法二：：由a1＝20，S10＝S15，解得公公差d＝－，∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.∵d<0，a1>0，∴a1，a2，…，a11，a12均為正數(shù)數(shù)，而a14及以后的的各項(xiàng)均均為負(fù)數(shù)數(shù)．∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值值，S12＝S13＝130.[思維拓展展]求等差數(shù)數(shù)列前n項(xiàng)和的最最值，常常用的方方法：①①利用等等差數(shù)列列的單調(diào)調(diào)性，求求出其正正負(fù)轉(zhuǎn)折折項(xiàng)，或或者利用用性質(zhì)求求其正負(fù)負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)項(xiàng)，便可可求得和和的最值值；②利利用等差差數(shù)列的的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))為二次函函數(shù)，利利用二次次函數(shù)的的性質(zhì)求求最值．．即時(shí)訓(xùn)練練已知{an}為等差數(shù)數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則則使得Sn達(dá)到最大大值的n是()A．21B．20C．19D．18解析：∵{an}為等差數(shù)數(shù)列，∴a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，等差數(shù)列列知識(shí)在在高考中中屬必考考內(nèi)容，，通常直直接考查查等差數(shù)數(shù)列的通通項(xiàng)公式式，前n項(xiàng)和公式式的題目目為容易易題，常常以選擇擇題、填填空題形形式出現(xiàn)現(xiàn)，而與與其他知知識(shí)(函數(shù)、不不等式、、解析幾幾何等)相結(jié)合的的綜合題題一般為為解答題題，難易易程度為為中檔題題．[分析]本題考查查等差數(shù)數(shù)列的通通項(xiàng)公式式與前n項(xiàng)和公式式的應(yīng)用用、裂項(xiàng)項(xiàng)法求數(shù)數(shù)列的和和，熟練練掌握數(shù)數(shù)列的基基礎(chǔ)知識(shí)識(shí)是解答答好本類(lèi)類(lèi)題目的的關(guān)鍵．．對(duì)(1)可直接根根據(jù)定義義求解；；(2)采用裂項(xiàng)項(xiàng)求和即即可解決決．1．(2010·福建高考考)設(shè)等差數(shù)