理論物理導論中北大學理學院物理系四大力學：1、理論力學2、量子力學3、電動力學4、熱力學統計物理理論力學——分析力學基礎部分牛頓力學回顧物體的機械運動即物體的空間位置隨時間變化。一、研究對象二、牛頓的時空觀（狹義相對論的時空觀）時間、空間、質量三個基本物理量是絕對的，它們與運動無關且彼此獨立，“同時性”和力學規律也是絕對的，而物體的坐標和速度是相對的。三、力學狀態的確定同時給定物體的坐標和速度（量子力學與此不同）四、力學規律的表達形式力是力學系統的核心。力學系統的運動微分方程：力學規律在所有慣性系中都是等價的，不存在特殊的慣性系。五、伽利略相對性原理（愛因斯坦相對性原理）六、牛頓力學的適用范圍低速（）、宏觀物體（）的運動。問題：力學規律是否只有牛頓形式？力學規律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密頓形式。經典力學：牛頓力學＋分析力學分析力學的主要內容§1-1自由度和廣義坐標一個自由質點在空間的位置可以用三個獨立參數來確定，我們說該自由質點有3個自由度。一般質點運動會受到約束限制，則其自由度數會減少，在完整約束條件下，確定質點系位置的獨立參數的數目等于系統的自由度數。故該質點在空間的位置由x、y就可確定，其自由度數為2。例如：一質點M限制在球面的上半部運動，則對完整系統，廣義坐標數目等于系統的自由度數。一般講，一個由n

個質點組成的質點系，若受到s

個完整約束作用，則其在空間的位置可由N=3n-s

個坐標完全確定下來，我們把這些描述質點系在空間中位置的獨立參數，稱為廣義坐標，用來表示。廣義坐標對時間的微商稱為廣義速度，用來表示。上式說明廣義坐標的選擇并不是唯一的。如上面例題的質點M的位置由x，y確定，則x，y就是其一組廣義坐標，此外，我們也可以選取其它的一組獨立參量來表達其位置：§1-2拉格朗日方程力是力學系統的核心，求解運動方程需要知道物體的受力情況。牛頓力學的運動微分方程：拉格朗日方程的特點是避開矢量力，而利用標量動能和勢能來描述運動。從牛頓方程出發推導拉格朗日方程1、單個質點不受約束需三個獨立坐標描述其位置，即有三個自由度。直角坐標系中：2、單個質點在保守力場中運動：——勢能函數由牛頓第二定律，質點的運動方程為：分量形式：又記x，y，z為x1，x2，x3，上式又寫為：上式合寫為：說明：(1)、以上選取的是直角坐標系，但坐標系的選取要根據具體情況而定。(2)、若U=U(r)，即勢能僅是質點到力心距離的函數，此時適宜于選取球坐標系。3、直角坐標系中質點的動能為：上式再對時間求微分得：動能對求偏導由和二式相加得：4、引入拉格朗日函數L動能T僅是速度的函數，勢能U僅是坐標的函數，因此此式即為用拉格朗日函數表示牛頓運動定律的拉格朗日方程。可以證明，將換成廣義坐標，即可得到用廣義坐標表示的具有s個自由度的系統的一般形式的拉格朗日方程。說明：1、拉格朗日方程是力學系統的基本運動方程，運動方程在牛頓力學中是牛頓第二定律，在分析力學中是拉格朗日方程。2、在分析力學中特征函數為拉格朗日函數（標量函數），在牛頓力學中特征函數是力（矢量）。3、由可以看出，只要給出力學體系的坐標和速度就能完全確定經典力學體系的狀態。4、不再限于直角坐標，在此為廣義坐標。5、在很多情況下，由拉格朗日方程得到的關于廣義坐標的運動微分方程是二階非線性的，求解很困難。例題：寫出有心力場中質點的運動方程。上式兩邊除以dt，得：解：選球坐標系，位移在球坐標系中的表達式：動能：所以拉格朗日函數為：求偏導：得到運動方程：將以上結果代入拉格朗日方程

多自由度系統線性振動問題的處理方法

各自由度的振動相互耦合,比較復雜,但由于方程是線性的,最終能找到解耦的方法。

數學中——求本征值和本征矢量的方法

實際振動系統不一定是線性的,但如果振動是微小的,可化為線性方程。通過一個實例,學習解法及一些重要概念和結論。§1-3小振動問題

設質量均為m的兩個質點,只沿水平方向運動,被3個輕彈簧連接,兩側彈簧的一端均被固定。中間彈簧的勁度系數為k1,兩旁彈簧的勁度系數為k2,兩質點靜止時各彈簧無伸長。試求兩質點在平衡位置附近的小振動。

自由度為2,選取x1

和x2

為系統的廣義坐標,它們分別表示兩質點相對自身平衡位置的位移。

系統的動能為：

[廣義速度常系數二次齊次式,可有一常數項]

系統的勢能為：[廣義坐標常系數二次齊次式,可有一常數項]系統的拉格朗日函數為：將上式代入拉格朗日方程可得系統的運動方程

[常系數、二階、線性、齊次微分方程組]

x1

的變化與x2

的變化相互耦合設方程組解的形式為：

代入運動方程得：

要使A1,A2

有非零解,方程組系數行列式必為零上方程稱為特征方程,展開得

這是關于ω的二次方程,說明振動頻率不能取任意值,它們只能取以下數值(本征值):

兩個頻率是系統固有的,稱為系統的簡正頻率。

從下面我們將看到,對應一種簡正頻率,系統存在一種簡單的、基本的振動方式。對應不同的簡正頻率,系統有不同的振動方式,這種與簡正頻率相對應的基本振動方式稱為簡正模式。

將代入方程：

將A1

，A2

寫成A11

，A21,表示這組振幅與ω1相應兩個方程有一個是不獨立的,不能完全確定A11,A21,只能確定它們的比值：所以與ω1對應的振動方程為其中φ1是與ω1相應的振動的初相。二質點振動位相相等,運動步調完全一致,稱為對稱模式,它的簡正模式如圖(a)所示。

（A11,A21

）組成一個二維矢量

,稱為與本征值ω1對應的本征矢量,它確定簡正模式。(a)對稱模式(b)反對稱模式

將代入方程相應的振幅用A12,A22

表示,得

只能獲得比值：（A11,A22

）組成與ω2

對應的本征矢量,相應的振動方程為：可見二質點的振動位相相反,振幅相同,稱為反對稱模式,它的簡正模式如圖(b)所示。

方程組的通解是它們的特解的線性組合,

即式中4個待定常數A11,A12,φ1

，φ2

由初始條件確定

設t=0時,可求得

代入得到方程的解為：

本問題除了選擇x1,x2

為廣義坐標外,還可選擇其他變量為廣義坐標,其中,有這樣的特殊變量,它可以使方程的解成為僅包含一個簡振頻率的簡諧振動,這樣的廣義坐標稱為簡正坐標。如何尋找簡正坐標呢?我們從解中得到啟發。

(x0cosω1t)/2和(x0cosω2t)/2就是兩個簡正坐標,設：這是一種坐標變換關系,通過反解就可求得簡正坐標。

代人得可見采用簡正坐標后,動能、勢能的表達式分別成為廣義速度和廣義坐標的平方和形式。

系統的拉格朗日函數為：代入拉格朗日方程,得運動方程為：可見每個方程只包含一個變量,方程組已解耦,其解分別為簡諧振動。其中,它們就是系統的簡正頻率。在上述初始條件下,可求出積分常數B1,B2,φ1,φ2,得§1-4哈密頓方程一、廣義動量將動能T對速度分量求偏導數，即可得動量的分量。勢能函數只與廣義坐標有關，與廣義速度無關，因此稱為廣義動量二、勒讓德變換設有又兩式相減得：變換后的函數：稱為函數f的勒讓德變換1、若要將變量y變為Q2、若要將變量x變為P兩式相減得：變換后的函數：稱為函數f的勒讓德變換3、——三個變量（可推廣到N個變量）要將，采用與前面一樣的方法，有：三、哈密頓函數廣義動量根據拉格朗日方程又對L進行勒讓德變換，目的：定義哈密頓函數H四、哈密頓函數的物理意義H就是系統的能量E。五、哈密頓方程由得：比較于是有：——哈密頓方程（正則方程，系統的運動方程）說明：1、數學上，哈密頓形式上為一階微分方程（2s個），而拉格朗日形式上為二階微分方程——簡化數學計算；3、哈密頓正則形式對稱，有利于從經典力學到量子力學的過渡。2、哈密頓方程中，