充分條件與必要條件充分條件與必要條件1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)“x＝3”是“x2＝9”的必要條件．(×)(2)“x>0”是“x>1”的充分條件．(×)(3)如果p是q的充分條件，則p是唯一的．(×)題型1充分條件的判斷2．在平面內，下列選項中是“四邊形是矩形”的充分條件的是(A)A．四邊形是平行四邊形且對角線相等B．四邊形兩組對邊相等C．四邊形的對角線互相平分D．四邊形的對角線垂直3．錢大姐常說“好貨不便宜”，她這句話的意思是“好貨”是“不便宜”的(A)A．充分條件B．必要條件C．無法判斷D．既不是充分條件也不是必要條件題型2必要條件的判斷4．x，y∈R，下列各式中是“xy≠0”的必要條件的是(B)A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0解析：因為xy≠0?x≠0且y≠0?x2>0且y2>0?x2＋y2>0，所以“x2＋y2>0”是“xy≠0”的必要條件．5．使|x|＝x成立的一個必要條件是(B)A．x<0 B．x≥0或x≤－1C．x>0 D．x≤－1解析：因為|x|＝x?x≥0?x≥0或x≤－1，所以使|x|＝x成立的一個必要條件是x≥0或x≤－1.6．判斷下列各題中，q是否是p的必要條件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1).解：(1)若|x|＝|y|，則x＝y或x＝－y，因此peq\o(?,/)q，所以q不是p的必要條件．(2)直角三角形不一定是等腰三角形．因此peq\o(?,/)q，所以q不是p的必要條件．(3)當x＝1時，x－1＝eq\r(x－1)＝0，所以p?q，所以q是p的必要條件．題型3充分條件、必要條件的綜合運用7．已知P＝{x|－2<x<10}，Q＝{x|m－1<x<m＋1}，若P是Q的必要條件，則實數m的取值范圍是(B)A．－1<m≤9 B．－1≤m≤9C．m≤－1 D．m≥9解析：因為P是Q的必要條件，所以Q?P，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,m＋1≤10，))解得－1≤m≤9.8．可以作為關于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數解的一個必要條件的是(A)A．m<eq\f(1,2) B．m<eq\f(1,4)C．m<－eq\f(1,2) D．m<－eq\f(1,4)解析：若一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數解，則判別式Δ＝1－4m≥0，解得m≤eq\f(1,4).所以一元二次方程x2＋x＋m＝0有實根的一個必要條件由選項可知m<eq\f(1,2)滿足題意．9．下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：a>b，q：a>b＋1；(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)；(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0無實根．解：(1)因為a>b推不出a>b＋1，而a>b＋1?a>b，所以p是q的必要條件．(2)因為四邊形的對角線相等推不出四邊形是矩形，而四邊形是矩形?四邊形的對角線相等．所以p是q的必要條件．(3)因為x＝1或x＝2?x－1＝eq\r(x－1)，x－1＝eq\r(x－1)?x＝1或x＝2，所以p既是q的充分條件也是q的必要條件．(4)若方程x2－x－m＝0無實根，則Δ＝1＋4m<0，即m<－eq\f(1,4).因為m<－1?m<－eq\f(1,4)，而m<－eq\f(1,4)推不出m<－1，所以p是q的充分條件．易錯點1忽視方法的選擇致錯10．設甲、乙、丙是三個命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么(A)A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙既不是甲的充分條件，又不是甲的必要條件D．無法判斷解析：由題知乙?甲，丙?乙，乙eq\o(?,/)丙，所以丙?甲，甲eq\o(?,/)丙，所以丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件．[誤區警示]不能正確地利用已知關系判定命題的充分性與必要性．易錯點2錯用不等關系判定充分性與必要性致錯11．(多選題)下列式子：①x<1；②0<x<1；③－1<x<1；④－1<x<0.其中，可以是x2<1的一個充分條件的序號為(BCD)A．① B．②C．③ D．④解析：因為x2<1，所以－1<x<1，所以②③④可以是x2<1的充分條件．[誤區警示]利用不等式的性質判斷，抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分性與必要性的問題．(限時30分鐘)一、選擇題1．命題p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，則p是q的(B)A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件也是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件解析：由命題p：(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b能推出|a|＝|b|，故p是q的必要條件．2．若a∈R，則“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(A)A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件也不是必要條件D．無法判斷解析：因為a＝2?(a－1)(a－2)＝0，所以a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分條件．3．對任意實數a，b，c，在下列命題中，是真命題的為(B)A．“ac>bc”是“a>b”的必要條件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件C．“ac>bc”是“a>b”的充分條件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件解析：因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac>bc，,c>0))?a>b，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac>bc，,c<0))?a<b，所以ac>bceq\o(?,/)a>b，而由a>beq\o(?,/)ac>bc，所以“ac>bc”既不是“a>b”的充分條件也不是它的必要條件，故A，C錯誤．又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝bc，,c≠0))?a＝b，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac＝bc，,c＝0))eq\o(?,/)a＝b，所以由ac＝bceq\o(?,/)a＝b，由a＝b?ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件．故選B.4．使x>3成立的一個充分條件是(A)A．x>4 B．x>0C．x>2 D．x<2解析：因為x>4?x>3，所以x>4是x>3成立的一個充分條件．5．(多選題)給出下列四個條件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<eq\f(1,x)<eq\f(1,y).其中能成為x>y的充分條件的是(AD)A．① B．②C．③ D．④解析：①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2?x>y；②當t>0時，x>y，當t<0時，x<y，故xt>yteq\o(?,/)x>y；③由x2>y2，得|x|>|y|eq\o(?,/)x>y，故x2>y2eq\o(?,/)x>y；④0<eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?x>y.故選AD.6．a<0，b<0的一個必要條件為(C)A．eq\f(a,b)>1 B．eq\f(a,b)<－1C．a＋b<0 D．a－b>0解析：a<0，b<0?a＋b<0，故選C.7．“a和b都是奇數”是“a＋b是偶數”的(A)A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件也是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件解析：兩個奇數的和是偶數，但和為偶數的兩個數有可能是兩個偶數，不一定是兩個奇數，所以“a和b都是奇數”?“a＋b是偶數”，“a＋b是偶數”eq\o(?,/)“a和b都是奇數”．所以“a和b都是奇數”是“a＋b是偶數”的充分條件．8．已知p：eq\f(x,y)>0，q：xy>0，則p是q的(C)A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件也是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件解析：若eq\f(x,y)>0，則x與y同號，所以xy>0，所以p?q.若xy>0，則x與y同號，所以eq\f(x,y)>0，所以q?p；所以p是q的充分條件也是必要條件．9．(多選題)有以下說法，其中正確的為(ACD)A．“m是有理數”是“m是實數”的充分條件B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要條件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要條件D．“x>3”是“x2>4”的充分條件解析：A正確，由于“m是有理數”?“m是實數”，所以“m是有理數”是“m是實數”的充分條件；B不正確，因為“x∈A”eq\o(?,/)“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要條件；C正確，由于“x＝3”?“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要條件；D正確，由于“x>3”?“x2>4”，所以“x>3”是“x2>4”的充分條件．10．若非空集合A，B，C滿足A∪B＝C，且B不是A的子集，則(B)A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件C．“x∈C”是“x∈A”的充分條件也是“x∈A”的必要條件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件解析：x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件．二、填空題11．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，則“m＝2”是“A∩B＝{4}”的__充分__條件．(填“充分”或“必要”)解析：當A∩B＝{4}時，m2＝4，所以m＝±2.所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分條件．12．給出下列四個條件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中__①③④__是a＋b>0的充分條件．(填序號)解析：問題是“誰”是“a＋b>0”的充分條件，對應即為“誰”?a＋b>0.①a>0，b>0?a＋b>0；②a<0，b<0eq\o(?,/)a＋b>0；③a＝3，b＝－2?a＋b>0；④a>0，b<0且|a|>|b|?a＋b>0.故答案為①③④.13．條件p：1－x<0，條件q：x>a，若p是q的充分條件，則a的取值范圍為__{a|a≤1}__．解析：由1－x<0得x>1，令A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，則A?B，所以a≤1.三、解答題14．判斷下列各題中，p是否是q的充分條件，p是否是q的必要條件．(1)p：數a能被6整除，q：數a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形；解：(1)數a能被6整除，則一定能被3整除，反之不一定成立．即p?q，qeq\o(?,/)p，所以p是q的充分條件，且p不是q的必要條件．(2)因為x2>1?x>1或x<－1，所以p?q，且qeq\o(?,/)p.所以p是q的充分條件，且p不是q的必要條件．(3)△ABC中，有兩個角相等時為等腰三角形，不一定為正三角形，即peq\o(?,/)q，且q?p，所以p不是q的充分條件，且p是q的必要條件．15．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3