3.1緒論

3.2信號的頻譜3.3傅立葉變換的性質3.4周期信號的傅里葉變換3.5LTI系統的頻域分析第三章LTI系統的頻域分析1教學目標與要求掌握兩種形式的傅里葉級數的展開式。掌握周期信號的頻譜及其特點。熟練掌握非周期信號的傅里葉變換的定義及其典型信號的傅里葉變換。熟練掌握傅里葉變換的主要性質。掌握周期信號傅里葉變換的求法及其傅里葉系數與傅里葉變換的關系。熟練掌握連續系統的頻域分析方法。了解理想低通濾波器及其傳輸特性和信號傳輸的不失真條件。23.1緒論3.1.1引言3.1.2傅里葉級數To:總目錄3

本章將以正弦信號和虛指數信號ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數信號之和。這里用于系統分析的獨立變量是頻率。故稱為頻域分析。

3.1.1引言4從數學上來講，并不是任何周期信號都可以展開成傅立葉級數的。以

T為周期的周期信號

f(t)

，在展成傅立葉級數時，必須滿足下列三個條件：(1)函數f(t)在一個周期內必須絕對可積，即(2)在一個周期內f(t)只有有限個極大值和極小值。(3)在一個周期內f(t)只有有限個不連續點，而且在不連續點處，f(t)值是有限的。上述三個條件稱為狄利克雷條件。5在滿足狄氏條件時，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度稱為三角形式的傅里葉級數，其系數級數形式3.1.2傅里葉級數6例：將圖示的對稱方波信號展成三角形式傅立葉級數解：直接代入公式有7所以有8（2）其他形式余弦形式9關系曲線稱為幅度頻譜圖；關系曲線稱為相位頻譜圖。可畫出頻譜圖。周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。（4）幅度頻率特性和相位頻率特性102.指數函數形式的傅里葉級數113.兩種系數之間的關系及頻譜圖12相頻特性幅頻特性幅頻特性和相頻特性13(2)兩種頻譜圖的關系單邊頻譜雙邊頻譜關系●●●144.函數的對稱性與傅里葉級數的關系偶函數奇函數奇諧函數偶諧函數15（1）偶函數信號波形相對于縱軸是對稱的16（2）奇函數17（3）奇諧函數f(t)的傅氏級數偶次諧波為零若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉，此時波形并不發生變化：18f(t)的傅氏級數奇次諧波為零，只有偶次諧波分量（4）偶諧函數193.2.1周期信號的頻譜3.2.2非周期信號的頻譜——傅里葉變換3.2.3隨機信號分析3.2信號的頻譜To:總目錄203.2.1周期信號的頻譜周期信號可以分解為一系列三角函數或指數函數之和，即：21周期信號的頻譜雙邊幅度譜22周期信號的頻譜雙邊相位譜23周期矩形脈沖信號的頻譜特點（1）離散性（2）諧波性（3）收斂性24舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數）25,n=0,±1，±2，…Fn為實數，可直接畫成一個頻譜圖。設T=4τ畫圖。零點為所以，m為整數。特點：(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。(2)一般具有收斂性。總趨勢減小。263.2.2非周期信號的頻譜——傅里葉變換

3.2.2.1傅里葉變換

3.2.2.2典型非周期信號的頻譜函數To:總目錄27傅里葉變換式傅里葉反變換式

F(jω)=F[f(t)]f(t)=F

–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)一、傅里葉變換28二、常用函數的傅里葉變換單邊指數函數f(t)=e–tε(t)，

>02.雙邊指數函數f(t)=e–t,

>0293.門函數(矩形脈沖)4.沖激函數(t)306.符號函數7.階躍函數(t)5.常數131歸納記憶：1.F變換對2.常用函數F變換對：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|ε(t)112πδ(ω)323.3

傅里葉變換的性質一、線性thenIf二、對稱性Iff(t)←→F(jω)thenF(jt

)←→2πf(–ω)33四、尺度變換性質f(t)←→F(jω)

f(t–b)←→e-jωb

F(jω)f(at–b)←→三、時移性質

f(t)←→F(jω)34ForexampleF(jω)=?

f1(t)=g6(t-5),

f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+Ans:f

(t)=f1(t)+f2(t)35五、頻移性質(FrequencyShiftingProperty)Iff(t)←→F(jω)thenProof:F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]endForexample1f(t)=ej3t←→F(jω)=?Ans:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)36Forexample2f(t)=cosω0t

←→F(jω)=?Ans:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]Forexample3Giventhatf(t)←→F(jω)Themodulatedsignalf(t)cosω0t←→?

37六、卷積定理(ConvolutionProperty)1、Convolutionintimedomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)2、Convolutioninfrequencydomain：Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)38Proof:UsingtimeshiftingSothat,39七、時域的微分和積分Iff(t)←→F(jω)thenf(t)=1/t2←→?40八、頻域的微分和積分Iff(t)←→F(jω)then(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)ForexampleDeterminef(t)=tε(t)←→F

(jω)=?412.無失真傳輸系統（1）無失真傳輸系統的定義所謂信號無失真傳輸是指系統的輸出信號與輸入信號相比只有幅度的大小和出現時間的先后不同，而沒有波形上的變化。設輸入信號為f(t),那么經過無失真傳輸后，其輸出信號應為即輸出信號y(t)的幅度比輸入信號大K倍，而且比輸入信號延時了td秒。

42（2）無失真傳輸的系統的時域和頻域特性

時域特性43

其幅頻特性和相頻性分別為頻域特性

為使信號無失真傳輸，要求：在全部的頻帶內，系統的幅頻特性應為一常數，而相頻特性應為通過原點的直線。