多元回歸預測法第一頁，共二十頁，2022年，8月28日一

多元回歸的估計問題（一）偏回歸系數的含義

1模型:(1)_度量了在變量X1保持不變的情況下,X2每變化1單位時y的均值變化.(2)保持不變的準確含義:假定X1為勞動,X2為資本投入,當X2增加1單位帶來產出的增加,我們能把產出的變化完全歸結于X2的投入嗎?如這樣,會夸大X2對Y的貢獻.故要評價X2對Y的真實貢獻,必需按某種方式控制X1的影響.如何控制?2度量X2對Y的影響時,第一,Y對X1的回歸:Yi=b0+b1.X1i+Ui__Ui_為除去X1對Y的線性影響后的Y值第二,X2對X1回歸:X2i=c0+c1.X1i+Zi__Zi為除去X1對X2的線性影響后的X2值第三,Ui對Zi的回歸:Ui=a0+a1.Zi+_除掉X1影響后的X2與Y的凈化關系.a1度量了X2單位變化對Y均值的真實影響,即a1=.思考:在模型中:Yi=d0+d2.X2I+ei的d2與的差異?第二頁，共二十頁，2022年，8月28日

X2對Y的總影響=X2對Y的直接影響+X2對Y的間接影響即:d2=

其中

X1i=f0+f2.X2i+wi。（二）偏回歸系數的OLS估計1MinQ=利用極值原理得:=0=0=0第三頁，共二十頁，2022年，8月28日2得到參數估計：第四頁，共二十頁，2022年，8月28日（三）參數估計的方差Var()==,其中為Xj對其他自變量的回歸相關系數,特別地,為方差膨脹因子_適用于共線性的判別分析第五頁，共二十頁，2022年，8月28日示例:技術進步對經濟增長貢獻率的測定_Solow余值法模型:Y=A(t)LaKb=ALaKbeut方法:,_術進步對經濟增長的貢獻:Solow余值法意義:經濟因什么而增長?增長強進和持久的決定因素是什么?如何測度?難道僅僅由資本與勞動的投入?政府僅僅在二者之間起協調和引導作用(以前的宏觀經濟政策調控在于財政政策和貨幣政策即投資及稅收和貨幣供給以及公共教育的投入)?因為經濟增長有由于自然資源的大量消耗而帶動的,也可以由于政府大量的資金投入,這兩種投入的要素的作用總是有限而短暫的,只有創新(技術與管理)所帶來的經濟增長才是強勁和持久的,并評價作為一個國家一定時期制度效率的依據.因此為各國所重視,并倡導了一種重視技術創新和管理創新的新觀念.差分得:第六頁，共二十頁，2022年，8月28日注意1:的約束,可防止多重共線性性.即1記（貢獻度之和)注意2:一個經濟系統的技術進不等于科學技術的進步,或工藝水平的提高,它是一個綜和指標,包括管理水平的提高,勞動者能力的提高,產業結構,商品結構,勞動力結構的變化對產出的影響它是生產效率提高的一種宏觀度量,稱為廣義的技術進步。第七頁，共二十頁，2022年，8月28日年總產值(億元)固定資產(億元)年末職工數(萬人)197165.4115.0438.52197269.4215.2138.33197377.1215.8638.01197481.1616.637.66197584.7117.4638.43197687.9718.1238.64197797.3818.8539.161978108.1619.6339.761979117.3320.343.351980130.8821.1945.75第八頁，共二十頁，2022年，8月28日

得:=8.05%,=1.46%,=3.89%==66.1%==8.6%==25.3%故科技進步的貢獻為66.1%.事實上,還可測出科技的總貢獻度66%中,工藝革新為30%,管理創新為36%.第九頁，共二十頁，2022年，8月28日二元回歸的F檢驗及應用

（一）F檢驗模型：H0：1

直和分解定理TSS=_總變差：觀測值的變化程度。RSS=_殘差平方和：應變量中未被解釋的部分（超越了人類的理性范圍）ESS=_解釋平方和：已被解釋的部分（回歸平方和）結論：TSS=RSS+ESS(易證明)第十頁，共二十頁，2022年，8月28日2

F統計量=F＝=FA(2,n-3)F>FA(2,n-3)則拒絕；否則，不拒絕．意義：檢驗復回歸的總體顯著性．思考：與R的比較第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日４一個解釋變量的邊際貢獻的測定（１）

解釋變量的邊際貢獻在模型中,動態地考慮X1與X2的引入模型中，即先做Y對X1的回歸，并評估其顯著性，然后在引進X2以判明它是否有任何貢獻＿指相對RSS而言顯著地增加了ESS，也稱邊際貢獻．（２）

用于評估解釋變量的邊際貢獻的ANOVA表第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日變異來源SSdfMSSESS僅由X11ESS由于X2的加入

=-1ESS由于X2和X12RSSn-3總計n-1

第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日(1)在扣除X1的影響后X2的邊際貢獻評估：F=（１）

何時加進一個新變量？問題：校正R2在何時增加？結論：新增變量的t值在絕對值大于1時，增加。即新增變量的F（=t2）值大于1時,即新變量的引進會使增加。示例：1956——1970年美國個人消費與個人可支配收入的關系模型：X1_個人可支配收入X2_時間(引入的目的在于避免謬誤相關)Y_個人消費第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日Y(PCE)X1(PDI)X2(時間)281．4309．31（1956）188．1316．12190318．83307．33334316．1340．35322．5350．56338．4367．27353．3381．28373．3408．19397．7434．810418．1458．911430．1477．512452．7499．13469．1513．514476．9533．215（1970）第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日結果：Yi=53.1603+0.7266X1i+2.7363X2i(13.0261)(0.0487)(0.8486)t=(4.0811)(14.906)(3.2246)

R2=0.9988,=0.9986,F=5128.88ANONA表：增量分析X2對Y的邊際貢獻；F=10。3973，可證系數是顯著的不為零。且符合引入X2的準則。第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日變異來源SS（平方和）Df（自由度）MSS（均方和）ESS僅由X1

=65898。2353165898。2353ESS由于X2的加入

=66。8647166．8647ESS由于X2和X1

=65965。1232982。55RSS

=771693126．4302總計

=66042。269314

第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日(二）

比較兩個回歸：檢驗兩個回歸模型的結構穩定性鄒檢驗在模型中：—n1組值

—n2組值程序：第一，合并n1和n2次觀測值，的殘差平方和RSS記S1,自由度為(n1+n2-k),k為估計參數的個數。第二，分別估計兩個模型的RSS,記S2和S3，自由度為(n1-k)和（n2-k),S4=S2+S3第三，S5=S1-S4第四F=__F(k,n1+n2-k)

示例：1946-1963年聯合王國個人儲蓄與個人收入數據

第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日

時期1：1946-1954年儲蓄（百萬磅）收入（百萬磅）19460．368．819470．219．419480，081019490．210．619500．11119510．1211．9119520．4112．719530．513．519540．4314．3時期2：1954-1963年儲蓄（百萬磅）收入（百萬磅）19550．5915．519560．916．719570．9517．719580．9218．619591．0419．719601．5321．119611．9422．819621．7523．919631．9925．2第十九頁，共二十頁，2022年，8月28日結果：模型1：Yi=-1.0821+0.1178Xi(0.1452)(0.0088)t=(-7.4548)(13.4316)R=0.9185,S1=0.5722,df=16模型2:(1946-1954)：Yi=-0.2622+0.047Xi(0.3054)(0.0266)t=(-0