湖北省五校重點中學2023-2023學年高二上學期期中統考數學試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）。1.360和504的最大公約數是（） A.72 B.24C.2520 D.以上都不對2．在空間直角坐標系中，點是在坐標平面內的射影，為坐標原點，則等于（）A.B.C.D.3．若直線：+與直線：互相垂直，則的值為（）A．B．C．或D．1或4、點P為ΔABC所在平面外一點，PO⊥平面ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，則點O是ΔABC的（）（A）內心（B）外心（C）重心（D）垂心5．如圖是將二進制數11111（2）化為十進制數的一個程序框圖，判斷框內應填入的條件是（）A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞6、在下列關于直線、與平面、的命題中,正確的是（）A.若且,則，B.若且,則.C.若且,則，D.若且,則7.用秦九韶算法計算多項式在時的值時,的值為() A.－845 B.220 C.－57 D.348、如圖，已知、，從點射出的光線經直線反向后再射到直線上，最后經直線反射后又回到點，則光線所經過的路程是 （）NMA． B．NMC． D．9、已知直線與平面所成的角為30°，為空間一定點，過作與、所成的角都是45°的直線，則這樣的直線可作（）條A．2 B．3 C．4 D．無數10.直線與圓交于、兩點，且、關于直線對稱，則弦的長為()A.2B.3C.4D.5INPUTxIFx<0THENINPUTxIFx<0THENy=(x+1)(x+1)ELSEy=(x-1)(x-1)ENDIFPRINTyEND（第11題）程序11．在運行下面的程序之后輸出y＝16，輸入x的值應該是。（12.完成下列進位制之間的轉化：101101（2）＝_____（10）=____（7）13．。14．圓的方程為，圓的方程為，過圓上任意一點作圓的兩條切線、，切點分別為、，則的最小值是。15．將邊長為2，一個內角為的菱形沿較短對角線折成四面體，點分別為的中點，則下列命題中正確的是。①∥；②；③有最大值，無最小值；④當四面體的體積最大時，；⑤垂直于截面.三、解答題（本大題共6小題,共75分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）。16、（本小題滿分12分）已知直線（1）證明：直線過定點；（2）若直線交軸負半軸于，交軸正半軸于，的面積為，求的最小值并求此時直線的方程。17.（本題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD的側面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2，CD,M在棱PC上，N是AD的中點，二面角M-BN-C為.（1）求的值；（2）求直線與平面BMN所成角的正弦值.18．(本題滿分12分)已知平面區域恰好被面積最小的圓C：及其內部覆蓋．（1）求圓C的方程；（2）斜率為1的直線與圓C交于不同兩點A、B，且，求直線的方程．19．（本題滿分12分）如圖5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（1）在直線上是否存在一點，使得平面？請證明你的結論；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。20．（本小題滿分13分）已知圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點（1，3），與直線x+2y-7=0相切.（1）求圓C的方程；（2）設直線：與圓C相交于A、B兩點，求實數的取值范圍；（3）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數，使得弦的垂直平分線過點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．21、（本題14分）已知圓和點（1）若過點有且只有一條直線與圓相切，求實數的值，并求出切線方程；（2）若，過點作圓的兩條弦，且互相垂直，求的最大值。數學試卷參考答案一、選擇題題號12345678910答案ABDBDBCAAC二、填空題11、）-5或5；12、45（10），63（7）；13、或；14、6；15、②④⑤。三、解答題17.（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD＝E．∵∠ADC＝∠BCD＝90，AD＝2BC＝2，N是AD的中點，∴BN⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴BN⊥平面PAD，∴BN⊥NE，則∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，∠DNE＝30．……………3分∵PA＝PD＝AD，∴∠PDN＝60，∴∠DEN＝90，∴DE＝eq\f(1,4)DP，∴CM＝eq\f(1,4)CP，故eq\f(PM,MC)＝3----------------6分（Ⅱ）連結BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，則∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連結PN，則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，∴PB＝eq\r(PN2＋BN2)＝eq\r(PN2＋CD2)＝eq\r(6)，--------------9分又PE＝eq\f(3,4)PD＝eq\f(3,2)，∴sin∠PBE＝eq\f(PE,PB)＝eq\f(\r(6),4)．所以直線PB與平面MBN所成的角為eq\f(\r(6),4)------------12分AACBDPNME18．解：(1)由題意知此平面區域表示的是以構成的三角形及其內部，且⊿是直角三角形，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓-------------2分故圓心是（2,1），半徑是，所以圓C的方程是=5----------6分（2）設直線的方程是：-----------------7分因為⊥,所以圓C到直線的距離是--------------10分解得所以直線的方程是：---------------12分（2）過作的平行線，過作的垂線交于，連結，∵，∴，是平面與平面所成二面角的棱．……8分∵平面平面，，∴平面，又∵平面，∴平面，∴，∴是所求二面角的平面角．………………10分設，則，，∴，∴．………12分20、解：（1）因為圓C的圓心在直線y=x+1上，可設圓心坐標為，由題意可列方程，解得，所以圓心坐標為（），半徑為，所以圓的方程為。-----------------5分(2)聯立方程，消得，由于直線與圓交于兩點，所以，解得，所以的取值范圍是（）------8分（3）設符合條件的實數存在，由于，則直線的斜率為，的方程為，即，由于垂直平分弦，故圓心必在上