2023年湖南省常德市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.

4.

5.A.A.

B.

C.

D.

6.

7.A.A.

B.

C.

D.不能確定

8.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-29.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－210.設f(x)在點x0處連續，則下面命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

11.設f'(x)=1+x，則f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

12.設函數f(x)在區間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

13.

14.為二次積分為（）。A.

B.

C.

D.

15.A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既非充分條件也非必要條件16.A.A.

B.

C.

D.

17.

18.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

19.下列關于動載荷的敘述不正確的一項是()。

A.動載荷和靜載荷的本質區別是前者構件內各點的加速度必須考慮，而后者可忽略不計

B.勻速直線運動時的動荷因數為

C.自由落體沖擊時的動荷因數為

D.增大靜變形是減小沖擊載荷的主要途徑

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.微分方程y'=ex的通解是________。

24.設y=2x+sin2，則y'=______．25.設y=e3x知，則y'_______。

26.

27.

28.

29.

30.

31.已知∫01f(x)dx=π，則∫01dx∫01f(x)f(y)dy=________。

32.

33.34.設f(0)=0，f'(0)存在，則35.

36.

37.設函數y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1確定，則y'=______．38.設y=3x，則y"=_________。39.設z=ln(x2+y)，則全微分dz=__________。

40.

三、計算題(20題)41.

42.證明：43.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

45.

46.47.求曲線在點(1，3)處的切線方程．48.49.求微分方程的通解．

50.

51.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．52.

53.

54.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

55.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．56.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．59.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．60.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.設y=x2+2x，求y'。

67.68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.若在(a，b)內f'(x)<0，f''(x)<0，則f(x)在(a，b)內()。A.單減，凸B.單增，凹C.單減，凹D.單增，凸六、解答題(0題)72.計算其中D是由y=x,x=0，y=1圍成的平面區域．

參考答案

1.B解析：

2.B

3.B

4.C解析：

5.A

6.B

7.B

8.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

9.D本題考查的知識點為原函數的概念、復合函數求導．

10.C本題考查的知識點有兩個：連續性與極限的關系；連續性與可導的關系．

連續性的定義包含三個要素：若f(x)在點x0處連續，則

(1)f(x)在點x0處必定有定義；

(2)必定存在；

(3)

由此可知所給命題C正確，A，B不正確．

注意連續性與可導的關系：可導必定連續；連續不一定可導，可知命題D不正確．故知，應選C．

本題常見的錯誤是選D．這是由于考生沒有正確理解可導與連續的關系．

若f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處必定連續．

但是其逆命題不成立．

11.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

可知應選C．

12.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

13.C

14.A本題考查的知識點為將二重積分化為極坐標系下的二次積分。由于在極坐標系下積分區域D可以表示為

故知應選A。

15.B

16.A

17.D

18.C

19.C

20.B

21.

22.

23.v=ex+C24.2xln2本題考查的知識點為初等函數的求導運算．

本題需利用導數的四則運算法則求解．

Y'=(2x+sin2)'=(2x)'+(sin2)'=2xln2．

本題中常見的錯誤有

(sin2)'=cos2．

這是由于誤將sin2認作sinx，事實上sin2為一個常數，而常數的導數為0，即

(sin2)'=0．

相仿(cos3)'=0，(ln5)'=0，(e1/2)'=0等．

請考生注意，不論以什么函數形式出現，只要是常數，它的導數必定為0．25.3e3x

26.1/π

27.（-21）（-2，1）

28.

29.0

30.

31.π2因為∫01f(x)dx=π，所以∫01dx∫01(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=(∫01f(x)dx)2=π2。

32.y=1y=1解析：

33.

34.f'(0)本題考查的知識點為導數的定義．

由于f(0)=0，f'(0)存在，因此

本題如果改為計算題，其得分率也會下降，因為有些考生常常出現利用洛必達法則求極限而導致運算錯誤：

因為題設中只給出f'(0)存在，并沒有給出，f'(z)(x≠0)存在，也沒有給出，f'(x)連續的條件，因此上述運算的兩步都錯誤．35.本題考查的知識點為重要極限公式．

36.

37.

；本題考查的知識點為隱函數的求導．

將x2y+y2x+2y=1兩端關于x求導，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=38.3e3x

39.

40.41.由一階線性微分方程通解公式有

42.

43.

44.

45.

46.

47.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

48.

49.

50.

51.函數的定義域為

注意

52.

則

53.

54.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

55.

列表：

說明

56.由等價無窮小量的定義可知

57.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

58.由二重積分物理意義知

59.

60.61.本題考查的知識點為求曲線的切線方程．切線方程為y+3=一3(x+1)，或寫為3x+y+6=0．求曲線y=f(x，y)的切線方程，通常要找出切點及函數在切點處的導數值．所給問題沒有給出切點，因此依已給條件找出切點是首要問題．得出切點、切線的斜率后，可依直線的點斜式方程求出切線方程．

62.

63.

64.

65.

66.y=x2+2xy'=(x2)'+(2x)=2x+2xIn2。y=x2+2x，y'=(x2)'+(2x)