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文檔簡介
四川省成都市利濟中學2021年高三數學理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知函數
(
)A.1
B.2
C.
3
D.
4參考答案:B略2.若0<b<a<1則下列結論不一定成立的是(
)A.< B.> C.ab>ba D.logba>logab參考答案:D【考點】對數值大小的比較.【專題】函數的性質及應用.【分析】根據不等式的性質判斷A,B,根據指數函數和對數函數的單調性即可判斷.【解答】解:∵0<b<a<1,∴<,>,故A,B成立ab>aa=bb>ba,故C成立,logba<logbb=1=logaa<logab,故D不成立,故選:D.【點評】本題考查了指數函數和對數函數的單調性和不等式的性質,屬于基礎題.3.已知,若恒成立,則實數的取值范圍是
.參考答案:
4.設全集U=R,集合A={x|1og2x≤2},B={x|(x﹣3)(x+1)≥0},則(CUB)∩A=(
)A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1]∪(0,3) C.[0,3) D.(0,3)參考答案:D【考點】交、并、補集的混合運算.【專題】集合.【分析】根據題意,先求出集合A,B,進而求出B的補集,進而根據交集的定義,可得答案.【解答】解:∵集合A={x|1og2x≤2}=(0,4],B={x|(x﹣3)(x+1)≥0}=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),∴CUB=(﹣1,3),∴(CUB)∩A=(0,3),故選:D【點評】本題考查集合混合運算,注意運算的順序,其次要理解集合交、并、補的含義.5.設R,向量且,則(A)
(B)
(C)
(D)10參考答案:B
因為,所以有且,解得,,即,所以,,選B.6.設向量),則是a∥b的(
)A.充要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:C7.設三位數,若以為三條邊的長可以構成一個等腰(含等邊)三角形,則這樣的三位數有() A.12種 B.24種 C.28種
D.36種
參考答案:C略8.已知各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn,且滿足,,成等差數列,則A.3
B.9
C.10
D.13參考答案:C9.集合.,則A∩B=(
)A.[0,2] B.(1,2] C.[1,2] D.(1,+∞)參考答案:B【分析】計算出集合、,利用交集的定義可得出集合.【詳解】,由于指數函數是增函數,當時,,則,因此,,故選B.【點睛】本題考查集合交集運算,同時也考查了函數的定義域與值域的求解,考查計算能力,屬于基礎題.10.函數的零點所在的區間是
A.
B.
C.
D.參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給定拋物線C:y2=4x,過點A(-1,0),斜率為k的直線與C相交于M,N
兩點,若線段MN的中點在直線x=3上,則k=________.參考答案:±過點A(-1,0),斜率為k的直線為y=k(x+1),與拋物線方程聯立后消掉y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,設M(x1,y1),N(x2,y2),有x1+x1=,x1x2=1.因為線段MN的中點在直線x=3上,所以x1+x2=6,即=6,解得k=±.而此時k2x2+(2k2-4)x+k2=0的判別式大于零,所以k=±12.已知為第二象限角,,則
參考答案:略13.設為正實數,且,則的最小值是
.參考答案:【知識點】基本不等式.E6【答案解析】.
解析:∵log3x+log3y=2,∴log3xy=2,∴xy=9,∴則≥2=.則的最小值是,故答案為:.【思路點撥】利用基本不等式得≥2,由條件可得xy為定值,從而即可求得的最小值.14.關于、的二元線性方程組的增廣矩陣經過變換,最后得到的矩陣為,則二階行列式=
.參考答案:由增廣矩陣可知是方程組的解,所以解得,所以行列式為。15.在邊長為1的正三角形中,設,則。參考答案:本題考查向量數量積的運算和向量加法,難度中等。因為所以,=。16.如圖過⊙0外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A,B,且PB=7,C是圓上一點使得BC=5,∠BAC=∠APB,則AB=
.參考答案:
因為是圓的切線,所以,又,所以與相似,所以,所以,所以。17.如圖所示,在復平面內,網格中的每個小正方形的邊長都為1,點A,B對應的復數分別是,則
.參考答案:
(10)
(11)三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為,投中得1分,投不中得0分.(Ⅰ)甲、乙兩人在罰球線各投球一次,求兩人得分之和ξ的數學期望;(Ⅱ)甲、乙兩人在罰球線各投球二次,求這四次投球中至少一次命中的概率;參考答案:解:(Ⅰ)依題意,記“甲投一次命中”為事件A,“乙投一次命中”為事件B,則
甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0、1、2,則ξ概率分布為:ξ012P
答:每人在罰球線各投球一次,兩人得分之和ξ的數學期望為.
(Ⅱ)“甲、乙兩人在罰球線各投球二次,這四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙兩人在罰球線各投球二次,這四次投球均未命中”的事件C的對立事件,而∴甲、乙兩人在罰球線各投球二次,這四次投球中至少一次命中的概率為答:甲、乙兩人在罰球線各投球二次,這四次投球中至少一次命中的概率為略19.已知函數的圖像經過點.()求.()在中,、、的對邊為、、,,,角為銳角且,求邊長.參考答案:見解析.解:()∵,
∵圖象經過點,
∴,即,即,
∵,∴,
∴.
()∵,∴,
∴,
∵,∴,
∴,∴.20.已知數列{an}前n項和為Sn,a1=﹣2,且滿足Sn=an+1+n+1(n∈N*).(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;(Ⅱ)若bn=log3(﹣an+1),求數列{}前n項和為Tn,求證Tn<.參考答案:【考點】數列的求和;數列遞推式.【分析】(I)Sn=an+1+n+1(n∈N*).n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=an+1+n+1﹣,化為:an+1=3an﹣2,可得:an+1﹣1=3(an﹣1),利用等比數列的通項公式即可得出.(II)bn=log3(﹣an+1)=n,可得=.再利用“裂項求和”方法與數列的單調性即可證明.【解答】(I)解:∵Sn=an+1+n+1(n∈N*).∴n=1時,﹣2=a2+2,解得a2=﹣8.n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=an+1+n+1﹣,化為:an+1=3an﹣2,可得:an+1﹣1=3(an﹣1),n=1時,a2﹣1=3(a1﹣1)=﹣9,∴數列{an﹣1}是等比數列,首項為﹣3,公比為3.∴an﹣1=﹣3n,即an=1﹣3n.(II)證明:bn=log3(﹣an+1)=n,∴=.∴數列{}前n項和為Tn=++…++=<.∴Tn<.【點評】本題考查了“裂項求和”方法、等比數列的通項公式、數列遞推關系、數列的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.21.(本小題滿分12分)定義:若兩個橢圓的離心率相等,則稱兩個橢圓是“相似”的,如圖,橢圓與橢圓是相似的兩個橢圓,并且相交于上下兩個頂點,橢圓的長軸長是,橢圓短軸長是1,點分別是橢圓的左焦點與右焦點(1)求橢圓和的方程;(2)過的直線交橢圓于點,求面積的最大值。參考答案:22. 已知函數
(I)若函數滿足f(1)=2,且在定義域內f(x)≥bx2+2x恒成立,求實數b的取值范圍; (II)若函數f(x)在定義域上是單調函數,求實數a的取值范圍;(III)當
參考答案:(Ⅰ)b≤0.
(Ⅱ)a≥(Ⅲ)<
.解析:(Ⅰ)由f(1)=2,得a=1,又x>0,∴x2+x﹣xlnx)≥bx2+2x恒成立?1﹣﹣≥b,令g(x)=1﹣﹣,可得g(x)在(0,1]上遞減,在[1,∞)上遞增,所以g(x)min=g(1)=0,即b≤0.
-----------------------(4分)(Ⅱ)f′(x)=2ax﹣lnx,(x>0),令f′(x)≥0得:2a≥,設h(x)=,當x=e時,h(x)max=,∴當a≥時,函數f(x)在(0,+∞)單調遞增…(5分)若0<a<,g(x)=2ax﹣lnx,(x>0),g′(x)=2a﹣,g′(x)=0,x=,x∈(0,),g′(x)<0,x∈(,+∞),g′(x)>0,∴x=時取得極小值,即最小值.而當0<a<時,g()=1﹣ln<0
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