云南省昆明市安寧一六街鄉中學2021-2022學年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中，真命題是：

（

）A．

B．C．a+b=0的充要條件是=-1

D．a>1,b>1是ab>1的充分條件參考答案：D略2.已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且函數f（x+）是偶函數，下列判斷正確的是（）A．函數f（x）的最小正周期為2πB．函數f（x）的圖象關于點（，0）d對稱C．函數f（x）的圖象關于直線x=﹣對稱D．函數f（x）在[，π]上單調遞增參考答案：D【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數的圖象．【分析】由題意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函數f（x+）是偶函數，可得+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函數的圖象和性質即可判斷求解．【解答】解：函數f（x）=sin（ωx+φ）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，∴函數f（x）的周期T=π，故A錯誤；∵ω＞0∴ω=2，∴函數f（x+）的解析式為：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵函數f（x+）是偶函數，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∴由2x+=kπ，k∈Z，解得對稱中心為：（﹣，0），k∈Z，故B錯誤；由2x+=kπ+，k∈Z，解得對稱軸是：x=，k∈Z，故C錯誤；由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得單調遞增區間為：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正確．故選：D．3.已知函數的圖象是下列四個圖象之一，其導函數的圖象如右圖所示，則該函數的圖象是（

）參考答案：B略4.若一元二次不等式的解集為，則的解集為A．

B．C．

D．參考答案：C5.已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′，點E是A′C′的中點，點F是AE的三等分點，且，則等于（）A．++ B．++C．++ D．++參考答案：D【考點】空間向量的加減法．【專題】數形結合；轉化思想；空間向量及應用．【分析】如圖所示，，=+，=，=+，=，=，代入化簡即可得出．【解答】解：如圖所示，，=+，=，=+，=，=，∴==+．故選：D．【點評】本題考查了向量共線定理、向量三角形法則與平行四邊形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6.已知兩條直線l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，則滿足條件a的值為（）A． B． C．﹣2 D．2參考答案：C【考點】直線的一般式方程與直線的平行關系．【專題】直線與圓．【分析】根據兩直線平行，直線方程中一次項系數之比相等，但不等于常數項之比，求得a的值．【解答】解：根據兩條直線l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故選C．【點評】本題主要考查兩直線平行的性質，兩直線平行，直線方程中一次項系數之比相等，但不等于常數項之比，屬于基礎題．7.5人站成一列，甲、乙兩人相鄰的不同站法的種數為（）A.18 B.24 C.36 D.48參考答案：D【分析】將甲、乙兩人捆綁在一起，再利用排列公式得到答案.【詳解】將甲、乙兩人捆綁在一起，不同站法的種數為：故答案選D【點睛】本題考查了排列組合中的捆綁法，屬于簡單題.8.若f(x)對于任意實數x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則f(x)＝()A.x－1 B.x＋1

C.2x＋1 D.3x＋3參考答案：B略9.已知a是實數，是純虛數，則a=（）A．1B．﹣1C．D．﹣參考答案：A【考點】復數代數形式的混合運算．【分析】化簡復數分母為實數，復數化為a+bi（a、b是實數）明確分類即可．【解答】解：由是純虛數，則且，故a=1故選A．10.復數的共軛復數的虛部為（

）A.1 B.3 C. D.參考答案：D【分析】根據復數的除法運算、共軛復數的定義求得共軛復數，從而可知虛部.【詳解】

的共軛復數為：虛部為：本題正確選項：【點睛】本題考查復數的除法運算、共軛復數的求解、復數的實部和虛部的定義，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數滿足，，則函數無極值的概率是

．參考答案：略12.已知實數滿足約束條件,則的最小值為

．參考答案：313.設函數f（x）=，若f（a）+f（﹣1）=3，則a=．參考答案：e或【考點】5B：分段函數的應用．【分析】根據分段函數的表達式求出f（﹣1），進而求出f（a）=1，解方程即可．【解答】解：f（﹣1）=（）﹣1=2，則由f（a）+f（﹣1）=3，得f（a）=﹣f（﹣1）+3=3﹣2=1，若a＞0，則f（a）=|lna|=1，即lna=1或lna=﹣1，即a=e或a=，若a＜0，則f（a）=（）a=1，則a=0不成立，故a=e或a=，故答案為：e或．14.已知100名學生某月飲料消費支出情況的頻率分布直方圖如圖所示．則這100名學生中，該月飲料消費支出超過150元的人數是．參考答案：30【考點】頻率分布直方圖．【專題】概率與統計．【分析】根據頻率分布直方圖，利用頻率、頻數與樣本容量的關系，即可求出正確的結果．【解答】解：根據頻率分布直方圖，得；消費支出超過150元的頻率（0.004+0.002）×50=0.3，∴消費支出超過150元的人數是100×0.3=30．故答案為：30．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率、頻數與樣本容量的應用問題，是基礎題．15.某工程由A，B，C，D四道工序組成，完成它們需用時間依次為2，5，x，4天。四道工序的先后順序及相互關系是：A,B可以同時開工；A完成后，C可以開工；B,C完成后，D可以開工。若完成該工程共需9天，則完成工序C需要的天數最大是______參考答案：316.若a2－ab＋b2＝1，a，b是實數，則a＋b的最大值是_

____．參考答案：217.設的內角所對邊的長分別為.若，則則角_________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.命題p：關于x的不等式x2+2ax+4＞0對于一切x∈R恒成立，命題q：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0，若p∨q為真，p∧q為假．求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】根據二次函數的圖象和性質我們可以求出命題p：關于x的不等式x2+2ax+4＞0對于一切x∈R恒成立時，及命題q：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0時，a的取值范圍，根據p∨q為真，p∧q為假，結合復合命題的真值表，可得p、q一真一假，分類討論后可得實數a的取值范圍．【解答】解：設g（x）=x2+2ax+4，由于關于x的不等式x2+2ax+4＞0對于一切x∈R恒成立，所以函數g（x）的圖象開口向上且與x軸沒有交點，故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．…（2分）若q為真命題，a≤x2恒成立，即a≤1．…由于p或q為真，p且q為假，可知p、q一真一假．…①若p真q假，則∴1＜a＜2；…（7分）②若p假q真，則∴a≤﹣2；…（9分）綜上可知，所求實數a的取值范圍是{a|1＜a＜2或a≤﹣2}…（10分）【點評】本題以復合命題的真假判斷為載體考查了二次不等式恒成立問題，其中根據二次函數的圖象和性質，分別求出對應的a值，是解答本題的關鍵．19.某大學高等數學這學期分別用A、B兩種不同的數學方式試驗甲、乙兩個大一新班（人數均為60人，入學數學平均分和優秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）.現隨機抽取甲、乙兩班各20名的高等數學期末考試成績，得到莖葉圖。學校規定：成績不得低于85分的為優秀（1）根據以上數據填寫下列的2×2的列聯表

甲

乙

總計

成績優秀

成績不優秀

總計

（2）是否有99%的把握認為成績優異與教學方式有關？”(計算保留三位有效數字)下面臨界值表僅供參考：

參考答案：（1）見解析；（2）沒有99%的把握認為成績優異與教學方式有關.【分析】（1）結合莖葉圖給出的數據，直接填寫表格即可；（2）結合第（1）問表格利用公式，參照臨界值表作出判斷.【詳解】（1）

甲

乙

總計

成績優秀31013成績不優秀171027總計202040

(2)由公式可得，沒有99%的把握認為成績優異與教學方式有關【點睛】本題考查了列聯表與獨立性檢驗，屬于基礎題.20.某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規定:在一次摸獎中,摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球,再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球,根據摸出4個球中紅球與藍球的個數,設一、二、三等獎如下:其余情況無獎,且每次摸獎最多只能獲得一個獎級.(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；(2)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額的分布列.參考答案：（1）；（2）分布列見解析.【分析】（1）根據超幾何分布概率公式可求得結果；（2）首先確定所有可能的取值，再分別求解出對應的概率，從而可得分布列.【詳解】(1)設表示摸到個紅球,則恰好摸到個紅球的概率為：(2)的所有可能值為，，，則；；；的分布列為：21.某校要建一個面積為450平方米的矩形球場，要求球場的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網圍成，且在矩形一邊的鋼筋網的正中間要留一個3米的進出口（如圖）．設矩形的長為x米，鋼筋網的總長度為y米．（Ⅰ）列出y與x的函數關系式，并寫出其定義域；（Ⅱ）問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網的總長度最小？（Ⅲ）若由于地形限制，該球場的長和寬都不能超過25米，問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網的總長度最小？參考答案：【考點】函數解析式的求解及常用方法；函數的最值及其幾何意義；基本不等式．【分析】第一問較簡單，別忘記寫定義域；第二問用到基本不等式的性質注意能否取到“=”；第三問在求函數的單調區間時可以用導數求，也可以用函數單調性的定義求解，都能得到y在（0，25]上是單調遞減函數；再求出函數最值．【解答】解：（Ⅰ）∵矩形的寬為：米，∴=定義域為{x|0＜x＜150}；（Ⅱ）y=當且僅當即x=30時取等號，此時寬為：米，∴長為30米，寬為15米，所用的鋼筋網的總長度最小．

（Ⅲ）法一：y=（0＜x≤25），∵∴當0＜x≤25時，x+30＞0，x﹣30＜0，x2＞0∴y'＜0∴y在（0，25]上是單調遞減函數

∴當x=25時，，此時，長為25米，寬為米所以，長為25米，寬為18米時，所用的鋼筋網的總長度最小．

法二：設，0＜x1＜x2≤25，則=；∵0＜x1＜x2≤25，∴x2﹣x1＞0