2022年貴州省安順市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.平面x+y一3z+1=0與平面2x+y+z=0相互關系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合

2.（）。A.e-2

B.e-2/3

C.e2/3

D.e2

3.

4.設f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)，則在(0，1)內曲線y=f(x)的所有切線中()．A.A.至少有一條平行于x軸B.至少有一條平行于y軸C.沒有一條平行于x軸D.可能有一條平行于y軸

5.

6.A.A.f(2)－f(0)

B.

C.

D.f(1)－f(0)

7.A.2B.-2C.-1D.1

8.

9.若f(x)<0，(a＜z≤b)且f(b)<0，則在(a，b)內()。A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.f(x)符號不定

10.

A.2e-2x+C

B.

C.-2e-2x+C

D.

11.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

12.交變應力的變化特點可用循環特征r來表示，其公式為()。

A.

B.

C.

D.

13.設函數f(x)＝2sinx，則f(x)等于（）．

A.2sinxB.2cosxC.－2sinxD.－2cosx

14.

15.曲線y=lnx-2在點(e，-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

16.A.(2+X)^2B.3(2+X)^2C.(2+X)^4D.3(2+X)^417.半圓板的半徑為r，重為w，如圖所示。已知板的重心C離圓心的距離為在A、B、D三點用三根鉛垂繩懸掛于天花板上，使板處于水平位置，則三根繩子的拉力為()。

A.F1=0.38w

B.F2=0.23w

C.F3=0.59w

D.以上計算均正確

18.

19.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()．A.A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解20.下列關系式中正確的有()。A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.設y=y(x)是由方程y+ey=x所確定的隱函數，則y'=_________.

22.為使函數y=arcsin(u＋2)與u=｜x｜-2構成復合函數，則x所屬區間應為__________．

23.如果函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=________。

24.25.

26.

27.

28.

29.設y=-lnx/x，則dy=_________。

30.

31.y"+8y=0的特征方程是________。

32.

33.設．y=e-3x，則y'________。

34.

35.36.

37.38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

42.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．43.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

44.

45.求微分方程的通解．46.47.求曲線在點(1，3)處的切線方程．48.49.

50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．51.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

52.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

53.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則54.

55.

56.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．57.58.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

60.證明：四、解答題(10題)61.

62.設z=z(x，y)由ez-xyz=1所確定，求全微分dz。

63.將f(x)=ln(1+x2)展開為x的冪級數．64.設

65.

66.(本題滿分8分)設y=y(x)由方程x2＋2y3＋2xy＋3y－x＝1確定，求y’67.設區域D為：

68.69.所圍成的平面區域。

70.設z=ysup>2</sup>esup>3x</sup>，求dz。

五、高等數學(0題)71.用拉格朗日乘數法計算z=x2+y2+1在條件x+y=3下的極值。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.Bπ1x+y一3z+1=0的法向量n1=(1，1，一3)π2：2x+y+z=0的法向量n2=(2，1，1)∵n1.n2=(1，1，一3).(2，1，1)=0∵n1⊥n2；∴π1⊥π2

2.B

3.D

4.A本題考查的知識點有兩個：羅爾中值定理；導數的幾何意義．

由題設條件可知f(x)在[0，1]上滿足羅爾中值定理，因此至少存在一點ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．這表明曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線必定平行于x軸，可知A正確，C不正確．

如果曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線平行于y軸，其中ξ∈(0，1)，這條切線的斜率為∞，這表明f'(ξ)=∞為無窮大，此時說明f(x)在點x=ξ不可導．因此可知B，D都不正確．

本題對照幾何圖形易于找出解答，只需依題設條件，畫出一條曲線，則可以知道應該選A．

有些考生選B，D，這是由于不明確導數的幾何意義而導致的錯誤．

5.A

6.C本題考查的知識點為牛頓一萊布尼茨公式和不定積分的性質．

可知應選C．

7.A

8.C

9.D∵f"(x)＜0，(a＜x≤b)．∴(x)單調減少(a＜x≤b)當f(b)<0時，f(x)可能大于0也可能小于0。

10.D

11.B如果y1，y2這兩個特解是線性無關的，即≠C，則C1y1+C2y2是其方程的通解。現在題設中沒有指出是否線性無關，所以可能是通解，也可能不是通解，故選B。

12.A

13.B本題考查的知識點為導數的運算．

f(x)＝2sinx，

f(x)＝2(sinx)≈2cosx．

可知應選B．

14.A

15.D

16.B

17.A

18.D

19.B本題考查的知識點為線性常系數微分方程解的結構．

已知y1，y2為二階線性常系數齊次微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個解，由解的結構定理可知C1y1+C2y2為所給方程的解，因此應排除D．又由解的結構定理可知，當y1，y2線性無關時，C1y1+C2y2為y"+p1y'+p2y=0的通解，因此應該選B．

本題中常見的錯誤是選C．這是由于忽略了線性常系數微分方程解的結構定理中的條件所導致的錯誤．解的結構定理中指出：“若y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個線性無關的特解，則C1y1+C2y2為所給微分方程的通解，其中C1，C2為任意常數．”由于所給命題中沒有指出)y1，y2為線性無關的特解，可知C1y1+C2y2不一定為方程的通解．但是由解的結構定理知C1y1+C2y2為方程的解，因此應選B．

20.B本題考查的知識點為定積分的性質．

由于x，x2都為連續函數，因此與都存在。又由于0＜x＜1時，x＞x2，因此

可知應選B。

21.1/(1+ey)本題考查了隱函數的求導的知識點。22.[-1，1

23.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

24.

本題考查的知識點為微分的四則運算．

注意若u，v可微，則

25.x2x+3x+C本題考查了不定積分的知識點。

26.

27.22解析：

28.

29.

30.3x2+4y

31.r2+8r=0本題考查的知識點為二階常系數線性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程為r2+8r=0。

32.解析：

33.-3e-3x

34.(2x-y)dx+(2y-x)dy(2x-y)dx+(2y-x)dy解析：

35.x-arctanx+C

36.

37.

38.由可變上限積分求導公式可知

39.

40.

本題考查的知識點為二重積分的計算．

41.

42.

43.

列表：

說明

44.

45.

46.

47.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

48.49.由一階線性微分方程通解公式有

50.

51.

52.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％53.由等價無窮小量的定義可知

54.

則

55.56.函數的定義域為

注意

57.

58.由二重積分物理意義知

59.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

60.

61.

62.63.由于

因此

本題考查的知識點為將函數展開為冪級數．

綱中指出“會運用ex，sinx，cosx，ln(1+x)，的麥克勞林展開式，將一些簡單的初等函數展開為x或(x-x0)的冪級數．”這表明本題應該將ln(1+x2)變形認作ln(1+x)的形式，利用間接法展開為x的冪級數．

本題中考生出現的常見錯誤是對ln(1+x2)關于x的冪級數不注明該級數的收斂區間，這是要扣分的．

64.

65.66.本題考查的知識點為隱函數求導法．

解法1將所給方程兩端關于x求導，可得

解法2

y＝y(x)由方程F(x，y)＝0確定，求y通常有兩種方法：

－是將F(x，y)＝0兩端關于x求導，認定y為中間變量，得到含有y的方程，從中解出y．

對于－些特殊情形，可以從F(x，y)＝0中較易地解出y＝y(x)時，也可以先求出y＝y(x)，再直接求導．67.利用極坐標，區域D可以表示為0≤θ≤π,0≤r≤2本題考查的知識點為二重積分的計算(極坐標系)．

如果積分區域為圓域或圓的一部分，被積函數為f(x2+y2)的二重積分，通常利用極坐標計算較方便．

使用極坐標計算二重積分時，要先將區域D的邊界曲線化為極坐標下的方程表示，以確定出區域D的不等式表示式，再將積分化為二次積分．

本題考生中常見的錯誤為：

被積函數中丟掉了r．這是將直角坐標系下的二重積分化為極坐標下的二次積分時常見的錯誤，考生務必要注意．

68.

69.解：D的圖形見右