2022年甘肅省酒泉市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

3.設平面π1：2x+y+4z+4=0π1：2x-8y+Z+1=0則平面π1與π2的位置關系是A.A.相交且垂直B.相交但不垂直C.平行但不重合D.重合

4.當x→0時，x2是2x的A.A.低階無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.高階無窮小

5.方程x=z2表示的二次曲面是A.A.球面B.橢圓拋物面C.柱面D.圓錐面

6.設f(x)在點x0處取得極值，則()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定為零

7.設y=cos4x，則dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

8.

9.

10.冪級數的收斂半徑為()A.1B.2C.3D.4

11.A.A.4πB.3πC.2πD.π

12.若x0為f(x)的極值點，則()．A.A.f'(x0)必定存在，且f'(x0)=0

B.f'(x0)必定存在，但f'(x0)不一定等于零

C.f'(x0)不存在或f'(x0)=0

D.f'(x0)必定不存在

13.

14.

15.

16.

17.

18.設k＞0，則級數為()．A.A.條件收斂B.絕對收斂C.發散D.收斂性與k有關

19.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

20.

二、填空題(20題)21.

22.設函數y=x3，則y'=________.

23.

24.已知f(0)=1，f(1)=2，f(1)=3，則∫01xf"(x)dx=________。

25.

26.

27.

28.曲線y=x3-3x+2的拐點是__________。

29.

30.方程y'-ex-y=0的通解為_____.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

42.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

43.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.求微分方程的通解．

46.

47.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

48.

49.

50.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

51.

52.

53.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

54.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

55.

56.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

57.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

58.

59.證明：

60.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答題(10題)61.

62.用洛必達法則求極限：

63.設

64.

65.計算

66.

67.

68.設f(x)為連續函數，且

69.

70.

五、高等數學(0題)71.

六、解答題(0題)72.求在區間[0，π]上由曲線y=sinx與y=0所圍成的圖形的面積A及該圖形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積Vx。

參考答案

1.C

2.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性。

3.A平面π1的法線向量n1=(2，1，4)，平面π2的法線向量n2=(2，-8，1)，n1*n1=0?？芍獌善矫娲怪?，因此選A。

4.D

5.C方程x=z2中缺少坐標y，是以xOy坐標面上的拋物線x=z2為準線，平行于y軸的直線為母線的拋物柱面。所以選C。

6.A若點x0為f(x)的極值點，可能為兩種情形之一：(1)若f(x)在點x0處可導，由極值的必要條件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在點x=0處取得極小值，但f(x)=|x|在點x=0處不可導，這表明在極值點處，函數可能不可導。故選A。

7.B

8.C解析：

9.D

10.A由于可知收斂半徑R==1．故選A。

11.A

12.C本題考查的知識點為函數極值點的性質．

若x0為函數y=f(x)的極值點，則可能出現兩種情形：

(1)f(x)在點x0處不可導，如y=|x|，在點x0=0處f(x)不可導，但是點x0=0為f(a)=|x|的極值點．

(2)f(x)在點x0可導，則由極值的必要條件可知，必定有f'(x0)=0．

從題目的選項可知應選C．

本題常見的錯誤是選A．其原因是考生將極值的必要條件：“若f(x)在點x0可導，且x0為f(x)的極值點，則必有f'(x0)=0”認為是極值的充分必要條件．

13.D

14.B

15.C解析：

16.D解析：

17.A

18.A本題考查的知識點為級數的絕對收斂與條件收斂．

由于為萊布尼茨級數，為條件收斂．而為萊布尼茨級數乘以數-k，可知應選A．

19.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

20.D解析：

21.

22.3x2本題考查了函數的導數的知識點。因為y=x3，所以y'=3x2

23.2x

24.2由題設有∫01xf"(x)dx=∫01xf"(x)=xf"(x)|01-|01f"(x)dx=f"(1)-f(x)|01=f"(1)-f(1)+f(0)=3-2+1=2。

25.

26.

27.x/1=y/2=z/-1

28.(02)

29.90

30.ey=ex+Cy'-ex-y=0，可改寫為eydy=exdx，兩邊積分得ey=ex+C.

31.0

32.

33.

34.x--arctanx+C本題考查了不定積分的知識點。

35.1本題考查了冪級數的收斂半徑的知識點。

36.

37.1/21/2解析：

38.

39.e2

40.

本題考查的知識點為不定積分的換元積分法．

41.

42.

列表：

說明

43.

44.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

45.

46.

47.由等價無窮小量的定義可知

48.

49.

50.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

51.

則

52.由一階線性微分方程通解公式有

53.函數的定義域為

注意

54.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

55.

56.由二重積分物理意義知

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

解析：本題考查的知識點為偏導數運算．

64.

65.

66.

67.

68.設，則f(x)=x3+3Ax．將上式兩端在[0，1]上積分，得

因此

本題考查的知識點為兩個：定積分表示一個確定的數值；計算定積分．

由于定積分存在，因此它表示一個確定的數值，設，則

f(x)=x3+3Ax．

這