1上次課復習

一、一維諧振子問題1、寫出Hamilton2、列出定態S方程3、變量代換、簡化方程：變系數二階常微分方程4、求漸進解5、用標準條件定漸進解6、設精確解7、得到H()所滿足的方程8、H()的級數解F=-kx29、代入關于H()的方程10、得到系數bk的遞推關系11、用有限條件定解，看無窮級數收斂性12、相鄰項之比：無窮級數等同冪級數發散13、從某一項截斷變成一個多項式量子化結果14、得到厄密多項式解15、寫出波函數16、確定歸一化系數一維簡諧振子問題分步積分3勢壘貫穿0aV(x)V0IIIIIIE（1）E>V0（2）E<V00aV(x)xV04第三章量子力學中的力學量§3.1表示力學量的算符§3.2動量算符和角動量算符§3.3電子在庫侖場中的運動§3.4氫原子§3.5厄密算符本征函數的正交性§3.6算符與力學量的關系§3.7算符的對易關系兩力學量有確定值的條件測不準關系5（一）量子力學基本假設III（二）量子力學規定的算符化規則（三）算符定義（四）算符的一般特性§3.1表示力學量的算符力學量的算符化和算符的運算規則6（一）量子力學基本假設III－力學量算符微觀體系的任一個可觀測量都對應一個厄密算符。若則力學量A有確定值a，a稱為算符?的本征值,ψ稱為算符?的本征函數(或本征態)，?ψ=aψ稱為本征方程；并且其本征函數系構成完備系。

7二、量子力學規定的算符化規則1.坐標和時間算符即是本身：x,y,z,t。

2.動量算符：3.任意力學量的算符（在經典力學中有對應量）可以用將坐標和動量算符代入經典力學表達式的方法得到。8代表對波函數進行某種運算或變換的符號?u=v表示

?

把函數u

變成

v，?就是這種變換的算符。由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當它作用于波函數上，對波函數做相應的運算才有意義，例如：（三）算符定義就是算符，其作用是對函數u微商，故稱為微商算符。x也是算符。它對u

作用是使u

變成v。9（四）算符的一般特性（1）線性算符（7）逆算符（2）算符相等（8）算符函數（3）算符之和（9）復共軛算符（4）算符之積（10）轉置算符（5）對易關系（11）厄密共軛算符（6）對易括號（12）厄密算符10（1）線性算符?(c1ψ1+c2ψ2)=c1?ψ1+c2?ψ2其中c1,c2是任意復常數，ψ1,ψ1是任意兩個波函數。滿足如下運算規律的算符?稱為線性算符例如：開方算符、取復共軛就不是線性算符。

注意：描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，這是態疊加原理的反映。11（2）算符相等若兩個算符?、?對體系的任何波函數ψ的運算結果都相同，即?=?，則算符?

和算符?

相等記為?=?。12（3）算符之和

若兩個算符?、?對體系的任何波函數ψ有：(?+?)ψ=?ψ+?ψ=êψ則?+?=ê

稱為算符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結合率。例如：體系Hamilton算符注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。?-?=?+（-?）。很易證明線性算符之和仍為線性算符。13（4）算符之積若?(?)=(??)=ê

則:??=ê其中ψ是任意波函數。一般來說算符之積不滿足交換律，即

??≠??這是算符運算與通常數學運算規則的唯一不同之處。14（5）對易關系若??≠??，則稱?與?

不對易。顯然二者結果不相等，所以:對易關系對易不對易反對易15量子力學中最基本的對易關系。若算符滿足??=-??，則稱?和?

反對易。寫成通式:但是坐標算符與其非共軛動量對易，各動量之間相互對易。注意：當?與?對易，?與ê對易，不能推知?與ê對易與否。例如：16（6）對易括號為了表述簡潔，運算便利和研究量子力學與經典力學的關系，人們定義了對易括號：

[?,?]≡??-??這樣一來，坐標和動量的對易關系可改寫成如下形式：

不難證明對易括號滿足如下對易關系：1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

上面的第四式稱為

Jacobi恒等式。17（7）逆算符1.定義:設?ψ=φ,能夠唯一的解出

ψ,則可定義算符?之逆?-1為:?-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性質I:若算符?之逆?-1存在,則

??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0證:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因為ψ是任意函數,所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性質II:若?,?均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-118例如:

設給定一函數F(x),其各階導數均存在,其冪級數展開收斂則可定義算符?

的函數F(?)為:（9）復共軛算符算符?的復共軛算符?*就是把?表達式中的所有量換成復共軛.例如:坐標表象中（8）算符函數19利用波函數標準條件:當|x|→∞時,→0。由于、φ是任意波函數,所以同理可證:（10）轉置算符20(11)厄密共軛算符由此可得：轉置算符的定義厄密共軛算符亦可寫成：算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:(?

?)+=?+

?+

(?

??...)+=...?+

?+

?+21(12)厄密算符1.定義:滿足下列關系的算符稱為厄密算符.2.性質性質I:兩個厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性質II:兩個厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對易。因為

(??)+=?+?+=??≠??僅當[?,?]=0成立時,(??)+=??才成立。22（1）線性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之積（5）對易關系（6）對易括號23（7）逆算符（8）算符函數（9）復共軛算符（10）轉置算符（11）厄密共軛算符（12）厄密算符24故事：父子諾貝爾獎1927年，喬治.湯姆遜著名的約瑟夫.湯姆遜的兒子，證明了電子的波動性。戴維遜和湯姆遜分享了1937年的諾貝爾獎金。有意思的是，J.J.湯姆遜因為發現了電子的粒子性而獲得諾貝爾獎，G.P.湯姆遜卻推翻了老爸的電子是粒子的觀點，證明電子是波而獲得同樣的榮譽。歷史有時候，實在富有太多的趣味性。相似的科學豪門，也不是絕無僅有：

居里夫人和她的丈夫皮埃爾居里于1903年分享諾貝爾獎(居里夫人在1911年又得了一個化學獎)。他們的女兒約里奧居里(IreneJoliot-Curie)也在1935年和她丈夫一起分享了諾貝爾化學獎。

1915年，WilliamHenryBragg和WilliamLawrenceBragg父子因為利用X射線對晶體結構做出了突出貢獻，分享了諾貝爾物理獎金。大名鼎鼎的尼爾斯玻爾獲得了1922年的諾貝爾物理獎。他的小兒子，埃格玻爾(AageBohr)于1975年在同樣的領域獲獎。

卡爾塞班(KarlSiegbahn)和凱伊塞班(KaiSiegbahn)父子分別于1924和1981年獲得諾貝爾物理獎。

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喬治·湯姆孫爵士

約瑟夫·湯姆孫爵士

26（一）動量算符 （1）動量算符的厄密性 （2）動量本征方程 （3）箱歸一化（二）角動量算符 （1）角動量算符的形式 （2）角動量本征方程 （3）角動量算符的對易關系 （4）角動量升降階算符§3.2動量算符和角動量算符27（一）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數在無窮遠處趨于零的邊界條件。證：由證明過程可見，動量算符的厄密性與波函數的邊界條件有關。28（2）動量本征方程其分量形式：用動量算符作用于動量p一定的自由粒子波函數上動量本征方程29I.求解解之得到如下一組解：采用分離變量法，令：代入動量本征方程且等式兩邊除以該式，得：30這正是自由粒子的deBroglie波的空間部分波函數。于是：31如果取|c|2(2π)3=1則ψp(r)就可歸一化為δ-函數。

II.歸一化系數的確定32xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應點A,A’上加上其波函數相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。據上所述，具有連續譜的本征函數如:動量的本征函數是不能歸一化為1的，而只能歸一化為δ-函數。

但是，如果我們加上適當的邊界條件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。周期性邊界條件假設邊長為L的正方體33這表明，px只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續譜變成了分立譜。34所以c=L-3/2，歸一化的本征函數為：波函數變為這時歸一化系數c可由歸一化條件來確定：V是正方體的體積35討論：（1）箱歸一化實際上相當于如圖所示情況：(a)A’(b)A(c)yx