上海浦西中學2023年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某小組共有10名學生，其中女生3名，現選舉2名代表，至少有1名女生當選的不同選法共

（

）種。A

27

B

48

C

21

D

24參考答案：B略2.已知點（m,n）在直線上，則的最小值為（

）

A．1

B.2

C.

D.4參考答案：D略3.如圖，平面四邊形ABCD中，，，，將其沿對角線BD折成四面體，使平面平面BCD，若四面體的頂點在同一個球面上，則該球的體積為（

）A．

B．3πC．

D．2π參考答案：C由題意平面四邊形中，，，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體頂點在同一個球面上，可知，所以是外接球的直徑，所以，球的半徑為；所以球的體積為，故選C.

4.設拋物線上一點P到y軸的距離是4，則點P到該拋物線的焦點的距離是

(

)A．4

B.6

C.8

D.12參考答案：B略5.設函數在處存在導數，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】通過變形，結合導數的定義可以直接得出答案.【詳解】.選A.【點睛】本題考查了導數的定義，適當的變形是解題的關鍵.6.甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為90人的樣本，應在這三校分別抽取學生（

）（A）30人，30人，30人

（B）30人，45人，15人（C）20人，30人，40人

（D）30人，50人，10人參考答案：B7.已知橢圓的離心率為，則b等于（

）.A.3

B.

C.

D.參考答案：B8.已知數列{an}，“對任意的n∈N*，點Pn(n，an)都在直線y＝

3x＋2上”是“{an}為等差數列”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略9.已知函數，若，則實數a的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】不等式等價于或分別解不等式組后，取并集可求得的取值范圍.【詳解】或，解得：或，即，故選D.【點睛】本題考查與分段函數有關的不等式，會對進行分類討論，使取不同的解析式，從而將不等式轉化為解絕對值不等式和對數不等式.10.離散型隨機變量的分布列如下則等于（

）A、0.1

B、0.24

C、0.01

D、0.71參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的焦點分別為和，點在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么

。參考答案：12.執行右側的程序框圖，若輸入n=3，則輸出T=

。參考答案：2013.已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，則直線的方程為

。參考答案：略14.已知，，則函數在上為增函數的概率是

.參考答案：15.如圖，長方體中，是邊長為的正方形，與平面所成的角為，則棱的長為_______；二面角的大小為_______.參考答案：16.復數z=（i為虛數單位）是實數，則實數a=_________．參考答案：-3略17.已知橢圓C:的左焦點為（-1,0），又點（0,1）在橢圓C上，則橢圓C的方程為__________.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點M到點的距離比到y軸的距離大1.（1）求點M的軌跡M的方程；（2）設直線l：，交軌跡C于A，B兩點，O為坐標原點，試在軌跡C的AOB部分上求一點P，使得△ABP的面積最大，并求其最大值.參考答案：（1）因為點M到點F(1,0)的距離比到y軸的距離大1，所以點M到點F(1,0)的距離等于它到直線m:x＝－1的距離……………2分由拋物線定義知道，點M的軌跡是以F為焦點，m為準線的拋物線或x軸負半軸設軌跡C的方程為：，

軌跡C方程為：.或……………5分（2）設A（x1,y1）,B（x2,y2）,P（x0,y0）直線l化成斜截式為當直線l的平行線與拋物線相切時△ABP的面積最大……………6分由圖知P點在第四象限.拋物線在x軸下方的圖象解析式：，所以

………7分，解得，所以P點坐標……………8分P點到l的距離……………9分A，B兩點滿足方程組

化簡得.x1,x2

為該方程的根.

所以 …………11分 ……………12分19.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5.（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積；（2）設M是BC中點，求直線A1M與平面ABC所成角的大小.參考答案：（1）20;（2）【分析】（1）三棱柱的體積，由此能求出結果；（2）連結是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積：V＝S△ABC×AA120．（2）連結AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5，M是BC中點，∴AA1⊥底面ABC，AM，∴∠A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，tan∠A1MA，∴直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctan．【點睛】本題考查三棱柱的體積的求法，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．20.（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PDC為正三角形，且面PDC⊥面ABCD,E為PC中點。（1）.求證：PA∥平BDE；（2）.求證：平面BDE⊥平面PBC；（3）.求二面角D-PB-C的正切值。參考答案：略21.已知集合M={x|x2＜（a+1）x}，N={x|x2+2x﹣3≤0}，若M?N，求實數a的取值范圍．參考答案：考點：集合的包含關系判斷及應用．專題：集合．分析：需要分類討論：a+1＜0、a+1=0、a+1＞0三種情況下的集合M是否符合題意，由此求得a的取值范圍．解答： 解：由已知得N={x|﹣3≤x≤1}，M={x|x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）}，由已知M?N，得①當a+1＜0即a＜﹣1時，集合M={x|a+1＜x＜0}．要使M?N成立，只需﹣3≤a+1＜0，解得﹣4≤a＜﹣1；②當a+1=0即a=﹣1時，M=?，顯然有M?N，所以a=﹣1符合題意．③當a+1＞0即a＞﹣1時，集合M={x|0＜x＜a+1}．要使M?N成立，只需0＜a+1≤1，解得﹣1＜a≤0，綜上所述，所以a的取值范圍是[﹣4，0]．點評：本題考查集合的包含關系判斷及應用，綜合性強，具有一定的難度．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的合理運用．22.已知函數f（x）=（e是自然對數的底數），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（1）求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；（2）求h（x）的單調區間；（3）設g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數，證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．參考答案：【分析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；（2）求導數，利用導數的正負，求h（x）的單調區間；（3）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，確定當x∈（0，+∞）時，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．當x∈（0，+∞）時，0＜＜1，即可證明結論．【解答】解：（1）f（x）=的導數為=，可得曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線斜率為0，切點為（1，），可得曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y=；（2）h（x）=1﹣x﹣xlnx求導數得h′（x）=﹣1﹣（1+lnx），x∈（0，+∞），令h′（x）=﹣2﹣lnx=0，x∈（0，+∞），可得x=e﹣2，當x∈（0，e﹣2）時，h′（x）＞0；當x∈（e﹣2，+∞）時，h′（x）＜0．因此h（x）的單調遞增區間為（0，e﹣2），單調遞減區間為（e﹣2，+∞）；（2）證明：因為g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求導得