上海新海農場中學2021年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B2.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象如圖所示，則函數的解析式是（

）A. B.C. D.參考答案：A根據函數g（x）的圖象知，=﹣=，∴T=π，∴ω==2；由五點法畫圖知，x=時，ωx+φ=2×+φ=，解得φ=；∴g（x）=sin（2x+）；又f（x）向左平移個單位后得到函數g（x）的圖象，∴f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故選：A．3.函數f（x）=的圖象可能是（）A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）參考答案：C【考點】3O：函數的圖象．【分析】分別令a=0，a＞0，a＜0，根據導數和函數的單調性即可判斷．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正確；∴f′（x）=，當a＜0時，函數f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函數f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上單調遞減，故（3）正確；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，當f′（x）＞0，即x∈（﹣，）時，函數單調遞增，當f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）時，函數單調遞減，故（2）正確函數f（x）=的圖象可能是（2），（3），（4），故選：C4.甲、乙兩位同學在5次考試中的數學成績用莖葉圖表示如圖，中間一列的數字表示數學成績的十位數字，兩邊的數字表示數學成績的個位數字．若甲、乙兩人的平均成績分別是、，則下列說法正確的是（）A．＜，甲比乙成績穩定 B．＜，乙比甲成績穩定C．＞，甲比乙成績穩定 D．＞，乙比甲成績穩定參考答案：B考點：莖葉圖；眾數、中位數、平均數．專題：概率與統計．分析：由莖葉圖可得原式數據，可得各自的平均值和方差，比較可得結論．解答：解：由題意可知甲的成績為：72，77，78，86，92，乙的成績為：78，88，88，90，91，∴=（72+77+78+86+92）=81，=（78+88+88+90+91）=87，=[（72﹣81）2+（77﹣81）2+（78﹣81）2+（86﹣81）2+（92﹣81）2]≈7.94，=[（78﹣87）2+（88﹣87）2+（88﹣87）2+（90﹣87）2+（91﹣87）2]≈5.20，∴＜，且＜，乙比甲成績穩定．故選：B點評：本題考查莖葉圖，考查平均值和方差，屬基礎題5.已知的導函數，在區間，且偶函數滿足，則x的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A6.已知條件p：|x﹣4|≤6，條件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，9] C．[1，9] D．[9，+∞）參考答案：D【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】解出關于p的不等式，根據充分必要條件的定義求出m的范圍即可．【解答】解：由|x﹣4|≤6，解得：﹣2≤x≤10，故p：﹣2≤x≤10；q：x≤1+m，若p是q的充分不必要條件，則1+m≥10，解得：m≥9；故選：D．7.在等差數列{an}中a1=-2015，其前n項和為Sn，若2S6-3S4=24，則S2015=A.-2014B.2014

C.2015

D.-2015參考答案：D8.如果一個立方體的體積在數值上等于V,表面積在數值上等于S,且V=S+1,那么這個立方體的棱長最接近()(A)4

(B)5

(C)6

(D)7參考答案：C9.在等差數列，則其前11項的和S11=

（

）

A．

B．99

C．198

D．89參考答案：B略10.已知向量，則向量的夾角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為

參考答案：

12.

甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是

（用數字作答）．參考答案：336

解析：對于7個臺階上每一個只站一人，則有種；若有一個臺階有2人，另一個是1人，則共有種，因此共有不同的站法種數是336種．13.已知定義在R上的可導函數y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程為y＝－x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________.參考答案：14.定義行列式運算，將函數的圖象向左平移（）個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則的最小值為________.參考答案：15.設集合則

▲

．參考答案：

16.已知函數，若方程至少有一個實數解，則實數的取值范圍是__________________________.參考答案：17.如圖是一個算法流程圖，則輸出的的值為

．參考答案：125三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（其中t為參數），在以原點O為極點，以x軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設是曲線上的一動點，的中點為，求點到直線的最小值．參考答案：（1）由得的普通方程．又由，得，所以，曲線的直角坐標方程為，即． 4分（2）設，，則，由于P是的中點，則，所以，得點的軌跡方程為，軌跡為以為圓心，1為半徑的圓．圓心到直線的距離．所以點到直線的最小值為． 10分19.（本小題滿分14分）已知函數.（Ⅰ）若在處取得極大值，求實數a的值；（Ⅱ）若，直線都不是曲線的切線，求的取值范圍；（Ⅲ）若，求在區間［0，1］上的最大值。參考答案：解：（Ⅰ）因為………………2分令，所以隨的變化情況如下表：+0-0+Z極大值］極小值Z

……4分所以

…………5分（由得出，或，在有單調性驗證也可以（標準略））（Ⅱ）因為

……6分因為，直線都不是曲線的切線，所以無實數解……7分只要的最小值大于所以

……8分（Ⅲ）因為，所以，當時，對成立所以當時，取得最大值

……9分當時，在時，，單調遞增

在單調遞減所以當時，取得最大值………………10分當時，在時，，單調遞減所以當，取得最大值

……11分當時，在時，單調遞減

在時，，單調遞增又，當時，在取得最大值當時，在取得最大值當時，在，處都取得最大值0.…………14分綜上所述，當時，取得最大值當時，取得最大值當時，在，處都取得最大值0當時，在取得最大值.

略20.已知函數f（x）=asinx+bcosx（a，b為常數且a≠0，x∈R）．當x=時，f（x）取得最大值．?（1）計算f（）的值；?（2）設g（x）=f（﹣x），判斷函數g（x）的奇偶性，并說明理由．??參考答案：【考點】GI：三角函數的化簡求值；3K：函數奇偶性的判斷．【分析】首先，根據已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根據最值建立等式，得到a=b，再化簡函數f（x）=asin（x+），（1）將代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函數定義判斷奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=時，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）為偶函數．理由：設g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函數g（﹣x）=g（x），為偶函數．【點評】本題考查了三角函數的性質以及奇偶性的判定；屬于基礎題．21.（本小題滿分7分）選修4—5：不等式選講已知函數.（1）求函數的最小值；（2）若正實數滿足，求證：.參考答案：（1）；（2）證明略.試題分析：（1）不等式的在求最值方面的應用；（2）柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。可在證明不等式，解三角形相關問題，求函數最值，解方程等問題的方面得到應用，，注意變形應用.試題解析：（1）∵，…………………2分當且僅當時取最小值2，……3分．…………………4分（2），，∴.…………7分考點：1、絕對值不等式的應用；2、柯西不等式的應用.22.（13分）已知函數f（x）=x3﹣2ax2+3x（x∈R）．（1）若a=1，點P為曲線y=f（x）上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程；（2）若函數y=f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，試求滿足條件的最大整數a．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．【專題】綜合題．【分析】（1）設出切線的斜率k，得到k等于f′（x）并把a=1代入到f（x）中求出解析式，根據二次函數求最小值的方法，求出k的最小值，然后把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值即可得到切點坐標，根據斜率和切點坐標寫出切線方程即可；（2）求出f′（x），要使f（x）為單調遞增函數，必須滿足f'（x）＞0，即對任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）大于0，解出a小于一個關系式，利用基本不等式求出這個關系式的最小值，得到關于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍，在范圍中找出滿足條件的最大整數即可．【解答】解：（1）設切線的斜率為k，則k=f′（x）=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，當x=1時，kmin=1．把a=1代入到f（x）中得：f（x）=x3﹣2x2+3x，所以f（1）=﹣2+3=，即切點坐