上海民辦久慧高級中學2021年高一數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設方程2x+x+2=0和方程的根分別為p和q，若函數f（x）=（x+p）（x+q）+2，則（）A．f（0）＜f（2）＜f（3）B．f（0）=f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）=f（0）D．f（0）＜f（3）＜f（2）參考答案：B考點：對數函數圖象與性質的綜合應用；指數函數綜合題．

專題：函數的性質及應用．分析：把兩個方程分別看作指數函數與直線y=﹣x﹣2的交點B和對數函數與直線y=﹣x﹣2的交點A的橫坐標分別為p和q，而指數函數與對數函數互為反函數則關于y=x對稱，求出AB的中點坐標得到p+q=﹣2．然后把函數f（x）化簡后得到一個二次函數，對稱軸為直線x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0），再根據二次函數的增減性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．解答：解：方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分別看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分別為p和q，即函數y=2x與函數y=﹣x﹣2的交點B橫坐標為p；y=log2x與y=﹣x﹣2的交點C橫坐標為q．由y=2x與y=log2x互為反函數且關于y=x對稱，所以BC的中點A一定在直線y=x上，聯立得．解得A點坐標為（﹣1，﹣1）根據中點坐標公式得到=﹣1，即p+q=﹣2，則f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2為開口向上的拋物線，且對稱軸為x=﹣=1，得到f（0）=f（2），且當x＞1時，函數為增函數，所以f（3）＞f（2），綜上，f（3）＞f（2）=f（0），故選B．點評：此題是一道綜合題，考查學生靈活運用指數函數、對數函數的圖象與性質，要求學生掌握反函數的性質，會利用二次函數的圖象與性質解決實際問題，屬于中檔題．2.若，則的值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.設集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，則A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）參考答案：C【考點】并集及其運算．【分析】求解指數函數的值域化簡A，求解一元二次不等式化簡B，再由并集運算得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故選：C．4.等差數列中，已知，，則（）．A．8 B．12 C．16 D．24參考答案：C設等差數列的首項為，公差為，則由，，得，解得，，所以．故選．5.函數的零點是A.

B.

1

C.

D.2參考答案：D略6.計算下列幾個式子：①；②2(sin35°cos25°+sin55°cos65°)；③

；④．

結果為的是（

）A.①②

B.①③

C.①②③

D.①②③④

參考答案：C7.函數是偶函數，則函數的單調遞增區間為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.設球的體積為V1，它的內接正方體的體積為V2，下列說法中最合適的是()A．V1比V2大約多一半

B．V1比V2大約多兩倍半C．V1比V2大約多一倍

D．V1比V2大約多一倍半參考答案：D9.給出下列四則函數：①sin（x﹣），y=cosx；②y=sinx，y=tanx?cosx；③y=1﹣ln（x2），y=1﹣2lnx；④y=2+，y=2+．其中，是相等函數的一共有(

)A．1組 B．2組 C．3組 D．4組參考答案：A【考點】判斷兩個函數是否為同一函數．【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用．【分析】對于①，先根據三角函數的誘導公式進行化簡，從而可以判斷這兩個函數的定義域和對應法則都相同，從而相等；而對于②③可求定義域，會得到定義域不同，從而不相等；而對于④進行開平方和立方，從而進行化簡，會看出對應法則不同，從而不相等．【解答】解：①sin（x）=；∴這兩個函數相等；②y=sinx的定義域為R，而y=tanx?cosx的定義域為{x|x≠，k∈Z}；定義域不同，∴這兩個函數不相等；③y=1﹣ln（x2）的定義域為{x|x≠0}，y=1﹣2lnx的定義域為{x|x＞0}；定義域不同，不相等；④y=，；解析式不同，∴這兩個函數不相等；∴相等函數共1組．故選；A．【點評】考查三角函數的誘導公式，判斷兩個函數是否相等的方法：看定義域和對應法則是否都相同，有一個不相同便不相等，以及正弦函數、余弦函數，及正切函數的定義域，平方根和立方根的不同．10. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（

）A． B．

C． D．

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數列{an}定義為，則_______.參考答案：【分析】由已知得兩式，相減可發現原數列的奇數項和偶數項均為等差數列，分類討論分別算出奇數項的和和偶數項的和，再相加得原數列前的和【詳解】兩式相減得數列的奇數項，偶數項分別成等差數列，，，，數列的前2n項中所有奇數項的和為：，數列的前2n項中所有偶數項的和為：【點睛】對于遞推式為，其特點是隔項相減為常數，這種數列要分類討論，分偶數項和奇數項來研究，特別注意偶數項的首項為，而奇數項的首項為.12.函數y=﹣的定義域是（用區間表示）參考答案：【考點】函數的定義域及其求法．【分析】由函數y的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．解：∵函數y=﹣，∴，即，解得；即0＜x＜，＜x≤3；∴f（x）的定義域是（0，）∪（，3]．故答案為：．13.若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一個元素，則實數k的值為．參考答案：0或1【考點】集合關系中的參數取值問題．【專題】計算題．【分析】集合A表示的是方程的解；討論當二次項系數為0時是一次方程滿足題意；再討論二次項系數非0時，令判別式等于0即可．【解答】解：當k=0時，A={x|4x+4=0}={﹣1}滿足題意當k≠0時，要集合A僅含一個元素需滿足△=16﹣16k=0解得k=1故k的值為0；1故答案為：0或1【點評】本題考查解決二次型方程的根的個數問題時需考慮二次項系數為0的情況、考慮判別式的情況．14.網絡上流行一種“QQ農場游戲”，這種游戲通過虛擬軟件模擬種植與收獲的過程．為了了解本班學生對此游戲的態度，高三(6)班計劃在全班60人中展開調查，根據調查結果，班主任計劃采用系統抽樣的方法抽取若干名學生進行座談，為此先對60名學生進行編號為：01,02,03，…60，已知抽取的學生中最小的兩個編號為03,09，則抽取的學生中最大的編號為________．參考答案：57由最小的兩個編號為03,09可知，抽取人數的比例為，即抽取10名同學，其編號構成首項為3，公差為6的等差數列，故最大編號為3＋9×6＝57．15.函數的定義域和值域相等，則實數a=．參考答案：﹣4或0【考點】函數的值域；函數的定義域及其求法．【分析】根據函數的定義域與值域相同，故可以求出參數表示的函數的定義域與值域，由兩者相同，故比較二區間的端點得出參數滿足的方程解方程求參數即可．【解答】解：若a＞0，對于正數b，f（x）的定義域為，但f（x）的值域A?[0，+∞），故D≠A，不合要求．若a＜0，對于正數b，f（x）的定義域為．由于此時，故函數的值域．由題意，有，由于b＞0，所以a=﹣4．若a=0，則對于每個正數b，的定義域和值域都是[0，+∞）故a=0滿足條件．故答案為：﹣4或0．16.如圖，邊長為l的菱形ABCD中，∠DAB=60°，，則=．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖坐標系，可得A、B、C、D各點的坐標，結合題中數據和等式，可得向量、的坐標，最后用向量數量積的坐標公式，可算出的值．【解答】解：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖坐標系∵菱形ABCD邊長為1，∠DAB=60°，∴D（cos60°，sin60°），即D（，），C（，）∵，∴M為CD的中點，得=（+）=（2+）=（1，）又∵，∴=+=（，）∴=1×+×=故答案為：17.已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=2x﹣x2，若存在實數a，b，使f（x）在[a，b]上的值域為[，]，則ab=

．參考答案：

【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據題意，先由奇函數的性質，分析可得x＜0時，f（x）=x2+2x，對于正實數a、b，分三種情況討論：①、當a＜1＜b時，②、當a＜b＜1時，③、當1≤a＜b時，結合二次函數的性質，分析可得a、b的值，將其相乘可得答案．【解答】解：設x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣2x﹣（﹣x）2，即﹣f（x）=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，設這樣的實數a，b存在，則或或，由得ab（a+b）=0，舍去；由，得a=1，b=矛盾，舍去；由得a，b是方程x3+2x2=1的兩個實數根，由（x+1）（x2+x﹣1）=0得a=，b=﹣1，∴ab=，故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，△ABC是邊長為2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．（1）求證：AE∥平面BCD；（2）求證：平面BDE⊥平面CDE．參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析試題分析：（1）取BC的中點M，連接DM、AM，證明AE∥DM，通過直線與平面平行的判定定理證明AE∥平面BCD．（2）證明DE∥AM，DE⊥CD．利用直線與平面垂直的判定定理證明CD⊥平面BDE．然后證明平面BDE⊥平面CDE．證明：（1）取BC的中點M，連接DM、AM，因為BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC，又因為平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，又因為AE?平面BCD，DM?平面BCD，所以AE∥平面BCD．（2）由（1）已證AE∥DM，又AE=1，DM=1，所以四邊形DMAE是平行四邊形，所以DE∥AM．由（1）已證AM⊥BC，又因為平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．又CD?平面BCD，所以DE⊥CD．因為BD⊥CD，BD∩DE=D，所以CD⊥平面BDE．因為CD?平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE．考點：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．19.已知圓C經過兩點，且在軸上截得的線段長為，半徑小于5.（1）求直線與圓C的方程；（2）若直線，直線與PQ交于點A、B，且以AB為直徑的圓經過坐標原點，求直線的方程.參考答案：（1）直線PQ：，圓C方程：（2）直線或.20.(本小題滿分12分)已知，點在函數的圖象上，其中（1）證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和．參考答案：證明：（1）由已知，，，，……2分兩邊取對數得，即

是公比為2，首項為的等比數列．……4分∴(*)……6分（2），

21.先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數分別記為a，b（Ⅰ）求滿足a2+b2=25的概率；（Ⅱ）設三條線段的長分別為a，b和5，求這三條線段能圍成等腰三角形（含等邊三角形）的概率．參考答案：【考點】CC：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率．【分析】（Ⅰ）基本事件總數n=6×6=36，滿足條件a2+b2=25的情況只有a=3，b=4，或a=4，b=3兩種情況，由此能求出滿足a2+b2=25的概率．（Ⅱ）三角形的一邊長為5，三條線段圍成等腰三角形，利用列舉求出滿足條件的基本事件共有14個，由此能求出三條線段能圍成等腰三角形的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，∴基本事件總數n=6×6=36，滿足條件a2+b2=25的情況只有a=3，b=4，或a=4，b=3兩種情況．…（4分）∴滿足a2+b2=25的概率為p1=．…（Ⅱ）∵三角形的一邊長為5，三條線段圍成等腰三角形，∴當a=1時，b=5，共1