上海新古北中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，則所在的象限是（

）A.第一或第二象限

B.第一或第三象限

C.第一或第四象限

D.第二或第四象限參考答案：B2.（理科做）不等式的解集為A．

B．［－1，1］

C．

D．［0，1］參考答案：略3.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是(

)①與；②f（x）=|x|與；③f（x）=x0與g（x）=1；④f（x）=x2﹣2x﹣1與g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①② B．①③ C．②④ D．③④參考答案：C【考點】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)．【專題】常規(guī)題型．【分析】①與定義域相同，但是對應(yīng)法則不同；②f（x）=|x|與）=|x|與g（x）是同一函數(shù)；③f（x）=x0與g（x）=1定義域不同；④f（x）=x2﹣2x﹣1與g（t）=t2﹣2t﹣1．函數(shù)與用什么字母表示無關(guān)，只與定義域和對應(yīng)法則有關(guān)．【解答】解：①與的定義域是{x：x≤0}；而①=﹣x，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；②f（x）=|x|與的定義域都是R，=|x|，這兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，故這兩個函數(shù)是同一函數(shù)；③f（x）=x0的定義域是{x：x≠0}，而g（x）=1的定義域是R，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；④f（x）=x2﹣2x﹣1與g（t）=t2﹣2t﹣1．是同一函數(shù)．故C正確．【點評】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的關(guān)鍵是要看定義域和對應(yīng)法則，只有兩者完全一致才能說明這兩個函數(shù)是同一函數(shù)．屬基礎(chǔ)題．4.將函數(shù)y=sinx圖象上所有的點向左平移個單位長度，再將圖象上所有的點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得圖象的函數(shù)解析式為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】第一次變換得到函數(shù)y=sin（x+）的圖象，再進行第二次變換得到函數(shù)y=sin（x+）的圖象，由此得出論．【解答】解：將函數(shù)y=sinx圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin（x+）的圖象，再將圖象上所有的點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得函數(shù)y=sin（x+）的圖象，故所求函數(shù)的解析式為，故選A．5.某市家庭煤氣的使用量x（m3）和煤氣費f（x）（元）滿足關(guān)系f（x）=，已知某家庭今年前三個月的煤氣費如表：月份用氣量煤氣費一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費為（）元．A．10.5 B．10 C．11.5 D．11參考答案：C【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求出A、B、C的值，可得f（x）的表達式，從而求出f（20）的值即可．【解答】解：由題意得：C=4，將（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：，∴A=5，B=，故x=20時：f（20）=4+（20﹣5）=11.5，故選：C．6.已知直線與平行則k的值是(

)A.3和5

B.3和4

C.4和5

D.-3和-5參考答案：A略7.如圖，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，設(shè)第n個圖形的邊長為an，則數(shù)列{an}的通項公式為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B由題得，從第二個圖形起，每一個三角形的邊長組成了以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以第個圖形的邊長為=.

8.經(jīng)過點(1,1)且斜率為1的直線方程為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用直線的點斜式方程求解．【詳解】解：經(jīng)過點且斜率為1的直線方程為：y﹣1＝1×（x﹣1），整理，得．故選：A．【點睛】本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意點斜式方程的合理運用．9.已知a=log32，b=log2，c=2，則（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c參考答案：A【考點】對數(shù)值大小的比較．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解．【解答】解：∵0=log31＜a=log32＜log33=1，b=log2＜log21=0，c=2＞20=1，∴c＞a＞b．故選：A．【點評】本題考查三個數(shù)大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運用．10.設(shè)集合U={0,1,2,3,4,5},A={1,2}，，則CU(A∪B)（

）．A.{0,1,2,3} B.{5} C.{1,2,4} D.{0,4,5}參考答案：D分析：求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整數(shù)解確定出B，求出A與B的并集，找出全集中不屬于并集的元素，即可求出所求.詳解：∵集合，∴,∴．故選．點睛：此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握交、并、補集的定義是解本題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________。

參考答案：[]略12.若直線2x+y+4=0與ax+2y﹣2=0平行，則這兩條平行線間的距離為

． 參考答案：【考點】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系． 【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓． 【分析】直線2x+y+4=0與ax+2y﹣2=0平行，可得﹣2=，解得a．再利用兩條平行線間的距離公式即可得出． 【解答】解：∵直線2x+y+4=0與ax+2y﹣2=0平行， ∴﹣2=，解得a=4． ∴ax+2y﹣2=0化為：2x+y﹣1=0， ∴這兩條平行線間的距離==． 故答案為：． 【點評】本題考查了兩條平行線間的距離公式、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 13.已知a＜0，向量=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），若∥，則a=

．參考答案：﹣1考點： 平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 直接由向量共線的坐標(biāo)表示列式求得a的值．解答： ∵=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），由∥，得2（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣3）=0，解得：a=﹣1或a=4．∵a＜0，∴a=﹣1．故答案為：﹣1．點評： 平行問題是一個重要的知識點，在高考題中常常出現(xiàn)，常與向量的模、向量的坐標(biāo)表示等聯(lián)系在一起，要特別注意垂直與平行的區(qū)別．若=（a1，a2），=（b1，b2），則⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0，是基礎(chǔ)題．14.已知tanα=2，則=

．參考答案：1【考點】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】化簡所求的表達式為正切函數(shù)的形式，代入求解即可．【解答】解：tanα=2，則===1．故答案為：1．15.設(shè)ω∈R+，若函數(shù)f(x)=sinωx在區(qū)間[–，]上是增加的，則ω的取值范圍是

。參考答案：(0，]16.如果圓(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：17.已知點P、A、B、C、D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為的正方形，若PA＝，則△OAB的面積為________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，要設(shè)計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.(1)怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最??？

(2)如果左欄矩形ABCD要滿足

（是常數(shù)，且）,怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形

廣告面積最小.參考答案：(2)設(shè)BC=x

則當(dāng)時，廣告寬

高，可使廣告面積最小當(dāng)時，廣告的高為140cm，寬為175時，可使廣告面積最小。19.（本小題滿分14分）已知集合和.設(shè)關(guān)于x的二次函數(shù)．（Ⅰ）若時，從集合取一個數(shù)作為的值，求方程有解的概率；（Ⅱ）若從集合和中各取一個數(shù)作為和的值，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率．參考答案：解：（Ⅰ）因為，由方程有解，所以，，∴

------6分（Ⅱ）函數(shù)圖象的對稱軸為.要使在區(qū)間上為增函數(shù)，應(yīng)有且，∴且.①若，則；②若，則；③若，則.∴所求概率.

-------------------14分20.定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.舉例：，，則對任意，，根據(jù)上述定義，在上為有界函數(shù)，上界可取3，5等等.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；（2）求函數(shù)在上的上界T的取值范圍；（3）若函數(shù)在上是以3為上界的函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案：解：（1）當(dāng)時，，設(shè)，，所以：，值域為，不存在正數(shù)M，使時，成立，即函數(shù)在上不是有界函數(shù).………5分（2）設(shè)，，在上是減函數(shù)，值域為要使恒成立，即：…………10分（3）由已知時，不等式恒成立，即：設(shè)，，不等式化為方法（一）討論：當(dāng)即：時，且得：當(dāng)即：時，，得綜上，方法（二）不等式且在上恒成立，分離參數(shù)法得且在上恒成立，得.………略21.（12分）已知⊙M：（x+1）2+y2=1，⊙N：（x﹣1）2+y2=9，動圓P與⊙M外切并且與⊙N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）l是與⊙P、⊙M都相切的一條直線，當(dāng)⊙P的半徑最長時，求直線l的方程．參考答案：考點： 軌跡方程；圓的切線方程．專題： 計算題；直線與圓．分析： （1）設(shè)動圓的半徑為R，由已知動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，求出即可；（2）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．分①l的傾斜角為90°．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，確定Q（﹣4，0），設(shè)l：y=k（x+4），由l與M相切，可得結(jié)論．解答： （1）由圓M：（x+1）2+y2=1，可知圓心M（﹣1，0）；圓N：（x﹣1）2+y2=9，圓心N（1，0），半徑3．設(shè)動圓的半徑為R，∵動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲線C的方程為（去掉點（﹣2，0））（2）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)⊙P的圓心為（2，0），R=2時，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．①l的傾斜角為90°，直線l的方程為x=0．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交