上海教育科學研究院實驗中學2021年高一數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直線y＝x＋b與曲線有且只有一個公共點，則b的取值范圍是()A．|b|＝

B．－1<b<1或b＝－C．－1<b≤1

D．－1<b≤1或b＝－參考答案：D2.圖中建立了集合P中元素與集合M中元素的對應f．其中為映射的對應是（）A．（1）（3） B．（2）（5） C．（3）（4） D．（1）（5）參考答案：B考點： 映射．專題： 函數的性質及應用．分析： 根據映射的定義，判斷P中任意元素在集合M中是否都有唯一的對應元素，解答： 解：（1）中對應，P中元素﹣3在集合M中無對應的元素，不滿足映射的定義；（2）中對應，P中任意元素在集合M中都有唯一的對應元素，滿足映射的定義；（3）中對應，P中元素2在集合M中有兩個對應的元素，不滿足映射的定義；（4）中對應，P中元素1在集合M中有兩個對應的元素，不滿足映射的定義；（5）中對應，P中任意元素在集合M中都有唯一的對應元素，滿足映射的定義；故為映射的對應是（2）（5），故選：B．點評： 本題考查的知識點是映射，熟練掌握并正確理解映射的定義，是解答的關鍵．3.sin(－1050°)的值為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D故選D

4.為了得到函數的圖象，只要將y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變B．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變D．向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變參考答案：A【考點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用左加右減的原則，直接推出平移后的函數解析式即可．【解答】解：將函數y=sinx的圖象向左平移個單位后所得到的函數圖象對應的解析式為：y=sin（x+），再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，所得到的函數圖象對應的解析式為y=sin（2x+）．故選A．5.已知0＜a＜1，則的大小關系是(A)

(B)(C)

(D)參考答案：A6.已知（e是自然對數的底數），則a，b，c之間的大小關系是A、

B、

C、

D、參考答案：A因為，所以，，.故選A.7.設,其中xR,如果AB=B，求實數的取值范圍．參考答案：A={0，-4}，又AB=B，所以BA．(i）B=時，4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1；(ii)B={0}或B={-4}時，0

得a=-1；(iii）B={0，-4}，

解得a=1．綜上所述實數a=1或a-1．8.下列函數中，既是偶函數且在區間(0,+∞)上單調遞增的函數是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：DA.是奇函數，故不滿足題意；B.是增函數，且為奇函數，故不滿足條件；C.是偶函數但是為減函數，故得到不滿足條件；D.，是偶函數且為增函數，滿足條件。

9.設全集，，則等于

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.過點P的直線L與以、為端點的線段有公共點，則直線L的斜率k的取值范圍是

A．

B．C． D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數列{an}中，a2＝2，a5＝16，那么數列{an}的前6項和S6＝________．參考答案：6312.設函數則

參考答案：－4∵，∴。答案：

13.化簡的結果是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略14.若直線l的斜率k的變化范圍是，則l的傾斜角的范圍為

．參考答案：[0，]∪[，π）【考點】直線的傾斜角．【分析】由直線的斜率范圍，得到傾斜角的正切值的范圍，利用正切函數的單調性并結合傾斜角的范圍，最后確定傾斜角的具體范圍．【解答】解：設直線的傾斜角為α，則α∈[0，π），由﹣1≤k≤，即﹣1≤tanα≤，當0＜tanα≤，時，α∈[0，]；當﹣1≤tanα＜0時，α∈[，π），∴α∈[0，]∪[，π）；故答案為∈[0，]∪[，π）．15.在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，，，平面ABC，且，則ED=_____．參考答案：【分析】由EC垂直Rt△ABC的兩條直角邊，可知EC⊥面ABC，再根據D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC＝8，可求得CD的長，根據勾股定理可求得DE的長．【詳解】如圖，EC⊥面ABC，而CD?面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜邊AB的中點，∴CD＝5，ED13．故答案為：13．【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定和性質定理，利用勾股定理求線段的長度，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎題．16.已知集合，則實數的值為

．參考答案：017.對于曲線（其中e為自然對數的底數）上任意一點處的切線，總存在在曲線上一點處的切線，使得∥，則實數a的取值范圍是____________.

參考答案：∵，∴∵,故∵,∴，g′′（x）=2（lnx+1），當x∈（0，）時，g′′（x）＜0，g′（x）為減函數；當x∈（，+∞）時，g′′（x）＞0，g′（x）為增函數；故當x=時，g′（x）取最小值a﹣，即g′（x）∈[a﹣，0）若對于曲線（其中e為自然對數的底數）上任意一點處的切線l1，總存在在曲線上一點處的切線l2，使得l1∥l2，則[﹣1，0）?[a﹣，0）,即a﹣≤﹣1．解得：a∈.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函數f（x）在區間[0，4]上的取值范圍；（2）若t=1，且對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求實數a的取值范圍．（3）若對任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8，求t的取值范圍．參考答案：【考點】3X：二次函數在閉區間上的最值；3W：二次函數的性質．【分析】（1）若t=1，則f（x）=（x﹣1）2+1，根據二次函數在[0，4]上的單調性可求函數的值域（2）由題意可得函數在區間[a，a+2]上，[f（x）]max≤5，分別討論對稱軸x=t與區間[a，a+2]的位置關系，進而判斷函數在該區間上的單調性，可求最大值，進而可求a的范圍（3）設函數f（x）在區間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，對任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8等價于M﹣m≤8，結合二次函數的性質可求【解答】解：因為f（x）=x2﹣2tx+2=（x﹣t）2+2﹣t2，所以f（x）在區間（﹣∞，t]上單調減，在區間[t，+∞）上單調增，且對任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t﹣x），（1）若t=1，則f（x）=（x﹣1）2+1．①當x∈[0，1]時．f（x）單調減，從而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范圍為[1，2]；②當x∈[1，4]時．f（x）單調增，從而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范圍為[1，10]；所以f（x）在區間[0，4]上的取值范圍為[1，10]．

…（2）“對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等價于“在區間[a，a+2]上，[f（x）]max≤5”．①若t=1，則f（x）=（x﹣1）2+1，所以f（x）在區間（﹣∞，1]上單調減，在區間[1，+∞）上單調增．②當1≤a+1，即a≥0時，由[f（x）]max=f（a+2）=（a+1）2+1≤5，得﹣3≤a≤1，從而0≤a≤1．③當1＞a+1，即a＜0時，由[f（x）]max=f（a）=（a﹣1）2+1≤5，得﹣1≤a≤3，從而﹣1≤a＜0．綜上，a的取值范圍為區間[﹣1，1]．

…（3）設函數f（x）在區間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，所以“對任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等價于“M﹣m≤8”．①當t≤0時，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．從而t∈?．②當0＜t≤2時，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得4﹣2≤t≤4+2．從而

4﹣2≤t≤2．③當2＜t≤4時，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2．從而2＜t≤2．④當t＞4時，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．從而t∈?．綜上，t的取值范圍為區間[4﹣2，2]．

…19.已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）設的夾角為θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量與互相垂直，求k的值．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【分析】（Ⅰ）利用兩個向量坐標形式的加減運算法則，進行運算．（Ⅱ）把兩個向量的坐標直接代入兩個向量的夾角公式進行運算．（Ⅲ）因為向量與互相垂直，所以，它們的數量積等于0，解方程求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）=（1，2）﹣2（﹣3，1）=（1+6，2﹣2）=（7，0）．（Ⅱ）=﹣．（Ⅲ）因為向量與互相垂直，所以，（）?（）=0，即因為=5，，所以，5﹣10k2=0，解得．20.已知A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}，若A∩B=A，求a的取值范圍．參考答案：【考點】交集及其運算．【專題】計算題；集合思想；分類法；集合．【分析】求出B中不等式的解集確定出B，根據A與B的交集為A，得到A為B的子集，確定出a的范圍即可．【解答】解：∵A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|（x﹣6）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜6}，且A∩B=A，∴A?B，當A=?時，則有a＞2a﹣4，即a＜4，滿足題意；當A≠?時，則有，解得：﹣1＜a＜5，綜上，a的范圍是a＜5．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．21.若求的值。參考答案：

=

=

==略22.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，A1A=AB=6，D為AC中點．（Ⅰ）求三棱錐C1﹣BCD的體積；（Ⅱ）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求證：直線AB1∥平面BC1D．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）先根據△ABC為正三角形，D為AC中點，得到BD⊥AC，求出△BCD的面積；再根據C1C⊥底面ABC即可求出三棱錐C1﹣BCD的體積；（Ⅱ）先根據A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再結合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）連接B1C交BC1于O，連接OD，根據D為AC中點，O為B1C中點可得OD∥AB1，即可證：直線AB1∥平面BC1D．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）∵△ABC為正三角形，D為AC中點，∴BD⊥AC，由AB=6可知，，∴．又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，∴．

…（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A