2022年河北省承德市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.A.3B.1C.1/3D.0

2.

3.下列反常積分收斂的是（）。

A.

B.

C.

D.

4.當x→0時，3x是x的（）．

A.高階無窮小量B.等價無窮小量C.同階無窮小量，但不是等價無窮小量D.低階無窮小量

5.

6.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面

7.

8.A.x2+C

B.x2-x+C

C.2x2+x+C

D.2x2+C

9.

10.

11.（）A.A.1/2B.1C.2D.e

12.為了提高混凝土的抗拉強度，可在梁中配置鋼筋。若矩形截面梁的彎矩圖如圖所示，梁中鋼筋(圖中虛線所示)配置最為合理的是()。

A.

B.

C.

D.

13.A.3B.2C.1D.1/2

14.函數f(x)=lnz在區間[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

15.

16.設y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

17.A.-e2x-y

B.e2x-y

C.-2e2x-y

D.2e2x-y

18.

19.函數y=ln(1+x2)的單調增加區間是()。A.(-5，5)B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.25.26.27.

28.29.30.函數f(x)=x3-12x的極小值點x=_______.31.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.32.

33.

34.∫(x2-1)dx=________。35.

36.

37.

38.39.40.三、計算題(20題)41.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

42.證明：43.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.46.47.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．48.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則49.

50.

51.求微分方程的通解．52.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．53.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．54.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．55.56.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

57.

58.

59.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

60.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．四、解答題(10題)61.計算

62.

63.求曲線y=x2+1在點(1，2)處的切線方程．并求該曲線與所求切線及x=0所圍成的平面圖形的面積．

64.

65.

66.

67.

68.設函數f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d，問常數a，b，c滿足什么關系時，f(x)分別沒有極值、可能有一個極值、可能有兩個極值?

69.70.求曲線的漸近線．五、高等數學(0題)71.設f(x)在x=0處有二階連續導數

則x=0是f(x)的()。

A.間斷點B.極大值點C.極小值點D.拐點六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A

2.A解析：

3.D

4.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

應依定義考察

由此可知，當x→0時，3x是x的同階無窮小量，但不是等價無窮小量，故知應選C．

本題應明確的是：考察當x→x0時無窮小量β與無窮小量α的階的關系時，要判定極限

這里是以α為“基本量”，考生要特別注意此點，才能避免錯誤．

5.B

6.B

7.C

8.B本題考查的知識點為不定積分運算．

因此選B．

9.C

10.D

11.C

12.D

13.B，可知應選B。

14.D由拉格朗日定理

15.C解析：

16.C

17.C本題考查了二元函數的高階偏導數的知識點。

18.A解析：

19.C本題考查的知識點為判定函數的單調性。

y=ln(1+x2)的定義域為(-∞，+∞)。

當x＞0時，y'＞0，y為單調增加函數，

當x＜0時，y'＜0，y為單調減少函數。

可知函數y=ln(1+x2)的單調增加區間是(0，+∞)，故應選C。

20.C

21.2

22.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C

23.y=f(0)

24.25.1/2

本題考查的知識點為計算二重積分．

其積分區域如圖1—1陰影區域所示．

可利用二重積分的幾何意義或將二重積分化為二次積分解之．

解法1

解法2化為先對y積分，后對x積分的二次積分．

作平行于y軸的直線與區域D相交，沿Y軸正向看，人口曲線為y＝x，作為積分下限；出口曲線為y＝1，作為積分上限，因此

x≤y≤1．

區域D在x軸上的投影最小值為x＝0，最大值為x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化為先對x積分，后對y積分的二次積分．

作平行于x軸的直線與區域D相交，沿x軸正向看，入口曲線為x＝0，作為積分下限；出口曲線為x＝y，作為積分上限，因此

0≤x≤y．

區域D在y軸上投影的最小值為y＝0，最大值為y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知26.F(sinx)+C本題考查的知識點為不定積分的換元法．

由于∫f(x)dx=F(x)+C，令u=sinx，則du=cosxdx，

27.2本題考查的知識點為極限運算．

由于所給極限為“”型極限，由極限四則運算法則有

28.x

29.

30.22本題考查了函數的極值的知識點。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),當x=2或x=-2時,f'(x)=0,當x＜-2時,f'(x)＞0；當-2＜x＜2時,f'(x)＜0;當x＞2時,f’(x)＞0,因此x=2是極小值點，31.

32.0本題考查了利用極坐標求二重積分的知識點.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.(2x+cosx)dx．

本題考查的知識點為微分運算．

40.

41.

42.

43.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

44.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

45.

46.

47.

48.由等價無窮小量的定義可知

49.

則

50.

51.

52.

53.54.函數的定義域為

注意

55.

56.由二重積分物理意義知

57.58.由一階線性微分方程通解公式有

59.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

60.

列表：

說明

61.

62.

63.，因此曲線y=X2+1在點(1，2)處的切線方程為y-2=2(x-1)，y=2x．曲線y=x2+1，切線y=2x與x=0所圍成的平面圖形如圖3-1所示．

其面積

本題考查的知識點為：求曲線的切線方程；利用定積分求平面圖形的面積．

64.

65.66.本題考查的知識點為兩個：定積分表示－個確定的數值；計算定積分．

這是解題的關鍵!為了能求出A，可考慮將左端也轉化為A的表達式，為此將上式兩端在[0，1]上取定積分，可得

得出A的方程，可解出A，從而求得f(x)．

本題是考生感到困難的題目，普遍感到無從下手，這是因為不會利用“定積分表示－個數值”的性質．

這種解題思路可以推廣到極限、二重積分等問題中．

67.【解析】本題考查的知識點為求二元隱函數的偏導數與全微分．

解法1

解法2利用微分運算

【解題指導】

求二元隱函數的偏導數有兩種方法：

68.解

69.70.由于

可知y=0為所給曲線