專題瓜豆原理知識(shí)梳理瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同,瓜豆原理是主從聯(lián)動(dòng)軌跡問(wèn)題.主動(dòng)點(diǎn)叫做瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫做豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線。瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.關(guān)犍是作出從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的特殊位置點(diǎn)，作出從動(dòng)點(diǎn)的特殊點(diǎn)，從而連成軌跡。【類型一］點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)：線段+直線模型：如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是什么?【結(jié)論】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線。【分析】可以這樣理解：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線。【類型二】點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)：角+直線模型：如圖，AAPQ是等腰直角三角形，NP4Q=90°且4P=4Q,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是什么?【結(jié)論】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP：AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。1/10

【分析】當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定值（NPAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定值（AP：4Q是定值）。【結(jié)論】P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于NPAQ（當(dāng)NPAQW90。時(shí)，NPAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于4P：4Q（由可得4P:AQ=BC:MN）2/10

典型例題【例1】(2021年3月新區(qū)實(shí)驗(yàn)初三月考)如圖，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，E為直線AB上方的一點(diǎn)，且滿足CE=CB,連接AE,以AE為腰，A為頂角頂點(diǎn)作等腰Rt^ZDE,連接CD,當(dāng)CD最大時(shí)，/DEC的度數(shù)為( )A.60° B.75° C.67.5°D.90°【例2】(2017姑蘇區(qū)二模)如圖，在等邊4ABC中，AB=10,BD=4,BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD,以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊^(qū)DP凡當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是【例3】如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2逐的一個(gè)定點(diǎn)，4C1%軸于點(diǎn)M,交直線y=-%于點(diǎn)N,若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ZAPB=30°,B41P4則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，8點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是。xx【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-3,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上，以3/10

AB為邊在AB的下方作等邊^(qū)ABP,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OP的最小值。【例5】（2019宿遷中考）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為一.A DGG4/10

知識(shí)梳理【類型三】點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)：線段+模型：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn)。問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是什么？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO,取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有4/MQ?△40P，QM:PO=AQ:AP=1:2.【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、。三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：4M=1/240。Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放。【類型二】點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)：角+模型1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,作AQLAP且AQ=AP。問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是什么？【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓。接下來(lái)確定圓心與半徑。考慮APLAQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心乂滿足4Ml40；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心乂滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO。即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△4P0w44QM。5/10模型2：如圖，AAPQ是直角三角形，NP4Q=90°且4P=24Q,當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是什么？【分析】考慮4P14Q,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心乂滿足4Ml4。；考慮4P:4Q=2:1,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心乂滿足40：4時(shí)=2:1。即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△ZPO?4/QM,且相似比為2。【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q,可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”。此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定值主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定值(NP4Q是定值)；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定值(4P：4Q是定值).AA【結(jié)論】(1)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：NP4Q=N04M；(2)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：4P:4Q=40:4M,也等于兩圓半徑之比。按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆。“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。6/10【思考1］如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,以AP為一邊作等邊△APQ。考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是什么？【思考2］如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ。考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何作出Q點(diǎn)軌跡？典型例題【例1】如圖，點(diǎn)P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是。【例2】如圖，在等腰Rt^【例2】如圖，在等腰Rt^ABC中，AC=BC=2<2，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為7/10【例3】（2018南通中考）如圖，正方形ABCD中，AB2不,O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),OE=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AE、CF.求線段OF長(zhǎng)的最小值.【例4】4【例4】4ABC中,的最大值為 4B=4,4c=2，以BC為邊在4ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO8/10鞏固練習(xí)1、（2020年，連云港中考，16題，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的OO與x軸的正半3軸至于點(diǎn)A，點(diǎn)B是EO上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=x-3與x軸、y軸分別至于點(diǎn)D、E，4則ACDE面積的最小值為。2、（2020年，南通中考，10題，3分）如圖，在^ABC中，AB=2,NABC=60°,NACB=45°,D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,AE±l,8?^1,垂足分別為E,F,則AE+BF的最大值為（ ）A.6B.2?月 C.2/3D.333、（2020年，無(wú)錫中考，18題，3分）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,AB=4,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，且DB=2AD,AE=3AC連接BE,CD,相交于點(diǎn)O,則4ABO面積最大值為。變