專題瓜豆原理知識梳理瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同,瓜豆原理是主從聯(lián)動軌跡問題.主動點叫做瓜，從動點叫做豆，瓜在直線上運動，豆的運動軌跡也是直線。瓜在圓周上運動，豆的運動軌跡也是圓.關(guān)犍是作出從動點的運動軌跡,根據(jù)主動點的特殊位置點，作出從動點的特殊點，從而連成軌跡。【類型一］點在直線上運動：線段+直線模型：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是什么?【結(jié)論】當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線。【分析】可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為AP=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線。【類型二】點在直線上運動：角+直線模型：如圖，AAPQ是等腰直角三角形，NP4Q=90°且4P=4Q,當(dāng)點P在直線BC上運動時，Q點軌跡是什么?【結(jié)論】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP：AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。1/10

【分析】當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。【模型總結(jié)】必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定值（NPAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定值（AP：4Q是定值）。【結(jié)論】P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于NPAQ（當(dāng)NPAQW90。時，NPAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點軌跡長度之比等于4P：4Q（由可得4P:AQ=BC:MN）2/10

典型例題【例1】(2021年3月新區(qū)實驗初三月考)如圖，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足CE=CB,連接AE,以AE為腰，A為頂角頂點作等腰Rt^ZDE,連接CD,當(dāng)CD最大時，/DEC的度數(shù)為( )A.60° B.75° C.67.5°D.90°【例2】(2017姑蘇區(qū)二模)如圖，在等邊4ABC中，AB=10,BD=4,BE=2,點P從點E出發(fā)沿EA方向運動，連結(jié)PD,以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊^(qū)DP凡當(dāng)點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是【例3】如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2逐的一個定點，4C1%軸于點M,交直線y=-%于點N,若點P是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,B41P4則點P在線段ON上運動時，A點不變，8點隨之運動.求當(dāng)點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是。xx【例4】如圖，在平面直角坐標系中，A(-3,0),點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以3/10

AB為邊在AB的下方作等邊^(qū)ABP,點B在y軸上運動時，求OP的最小值。【例5】（2019宿遷中考）如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1,F為AB邊上的一個動點，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為一.A DGG4/10

知識梳理【類型三】點在圓上運動：線段+模型：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點。問題：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是什么？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO,取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有4/MQ?△40P，QM:PO=AQ:AP=1:2.【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、。三點共線，由Q為AP中點可得：4M=1/240。Q點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放。【類型二】點在圓上運動：角+模型1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,作AQLAP且AQ=AP。問題：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是什么？【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓。接下來確定圓心與半徑。考慮APLAQ，可得Q點軌跡圓圓心乂滿足4Ml40；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心乂滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO。即可確定圓M位置，任意時刻均有△4P0w44QM。5/10模型2：如圖，AAPQ是直角三角形，NP4Q=90°且4P=24Q,當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是什么？【分析】考慮4P14Q,可得Q點軌跡圓圓心乂滿足4Ml4。；考慮4P:4Q=2:1,可得Q點軌跡圓圓心乂滿足40：4時=2:1。即可確定圓M位置，任意時刻均有△ZPO?4/QM,且相似比為2。【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點P、Q,可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”。此類問題的必要條件：兩個定值主動點、從動點與定點連線的夾角是定值(NP4Q是定值)；主動點、從動點到定點的距離之比是定值(4P：4Q是定值).AA【結(jié)論】(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：NP4Q=N04M；(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：4P:4Q=40:4M,也等于兩圓半徑之比。按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆。“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。6/10【思考1］如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,以AP為一邊作等邊△APQ。考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是什么？【思考2］如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ。考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？典型例題【例1】如圖，點P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是。【例2】如圖，在等腰Rt^【例2】如圖，在等腰Rt^ABC中，AC=BC=2<2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點，當(dāng)半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為7/10【例3】（2018南通中考）如圖，正方形ABCD中，AB2不,O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點,OE=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AE、CF.求線段OF長的最小值.【例4】4【例4】4ABC中,的最大值為 4B=4,4c=2，以BC為邊在4ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點O，則線段AO8/10鞏固練習(xí)1、（2020年，連云港中考，16題，3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的OO與x軸的正半3軸至于點A，點B是EO上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=x-3與x軸、y軸分別至于點D、E，4則ACDE面積的最小值為。2、（2020年，南通中考，10題，3分）如圖，在^ABC中，AB=2,NABC=60°,NACB=45°,D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D,AE±l,8?^1,垂足分別為E,F,則AE+BF的最大值為（ ）A.6B.2?月 C.2/3D.333、（2020年，無錫中考，18題，3分）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,AB=4,點D,E分別在邊AB,AC上，且DB=2AD,AE=3AC連接BE,CD,相交于點O,則4ABO面積最大值為。變