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專題瓜豆原理知識(shí)梳理瓜豆原理:若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值,夾角是定角,則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同,瓜豆原理是主從聯(lián)動(dòng)軌跡問(wèn)題.主動(dòng)點(diǎn)叫做瓜,從動(dòng)點(diǎn)叫做豆,瓜在直線上運(yùn)動(dòng),豆的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線。瓜在圓周上運(yùn)動(dòng),豆的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.關(guān)犍是作出從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的特殊位置點(diǎn),作出從動(dòng)點(diǎn)的特殊點(diǎn),從而連成軌跡。【類型一]點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng):線段+直線模型:如圖,P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)軌跡是什么?【結(jié)論】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí),Q點(diǎn)軌跡也是一條直線。【分析】可以這樣理解:分別過(guò)A、Q向BC作垂線,垂足分別為M、N,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,因?yàn)锳P=2AQ,所以QN始終為AM的一半,即Q點(diǎn)到BC的距離是定值,故Q點(diǎn)軌跡是一條直線。【類型二】點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng):角+直線模型:如圖,AAPQ是等腰直角三角形,NP4Q=90°且4P=4Q,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)軌跡是什么?【結(jié)論】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話,P、Q軌跡是同一種圖形。1/10
【分析】當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候,可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置,連線即可,比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置,連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。【模型總結(jié)】必要條件:主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定值(NPAQ是定值);主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定值(AP:4Q是定值)。【結(jié)論】P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于NPAQ(當(dāng)NPAQW90。時(shí),NPAQ等于MN與BC夾角)P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于4P:4Q(由可得4P:AQ=BC:MN)2/10
典型例題【例1】(2021年3月新區(qū)實(shí)驗(yàn)初三月考)如圖,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),E為直線AB上方的一點(diǎn),且滿足CE=CB,連接AE,以AE為腰,A為頂角頂點(diǎn)作等腰Rt^ZDE,連接CD,當(dāng)CD最大時(shí),/DEC的度數(shù)為( )A.60° B.75° C.67.5°D.90°【例2】(2017姑蘇區(qū)二模)如圖,在等邊4ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng),連結(jié)PD,以PD為邊,在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊^(qū)DP凡當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是【例3】如圖,已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2逐的一個(gè)定點(diǎn),4C1%軸于點(diǎn)M,交直線y=-%于點(diǎn)N,若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),ZAPB=30°,B41P4則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A點(diǎn)不變,8點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng).求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí),點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是。xx【例4】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(-3,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C、D在x正半軸上,以3/10
AB為邊在AB的下方作等邊^(qū)ABP,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求OP的最小值。【例5】(2019宿遷中考)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn),且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為一.A DGG4/10
知識(shí)梳理【類型三】點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng):線段+模型:如圖,P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),A為定點(diǎn),連接AP,Q為AP中點(diǎn)。問(wèn)題:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)軌跡是什么?【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓,而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系?考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn),連接AO,取AO中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心,半徑MQ是OP一半,任意時(shí)刻,均有4/MQ?△40P,QM:PO=AQ:AP=1:2.【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑,由A、Q、P始終共線可得:A、M、。三點(diǎn)共線,由Q為AP中點(diǎn)可得:4M=1/240。Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放。【類型二】點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng):角+模型1:如圖,P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),A為定點(diǎn),連接AP,作AQLAP且AQ=AP。問(wèn)題:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)軌跡是什么?【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓,可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ,故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓。接下來(lái)確定圓心與半徑。考慮APLAQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心乂滿足4Ml40;考慮AP=AQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心乂滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO。即可確定圓M位置,任意時(shí)刻均有△4P0w44QM。5/10模型2:如圖,AAPQ是直角三角形,NP4Q=90°且4P=24Q,當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)軌跡是什么?【分析】考慮4P14Q,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心乂滿足4Ml4。;考慮4P:4Q=2:1,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心乂滿足40:4時(shí)=2:1。即可確定圓M位置,任意時(shí)刻均有△ZPO?4/QM,且相似比為2。【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q,可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”,點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”。此類問(wèn)題的必要條件:兩個(gè)定值主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定值(NP4Q是定值);主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定值(4P:4Q是定值).AA【結(jié)論】(1)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角:NP4Q=N04M;(2)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比:4P:4Q=40:4M,也等于兩圓半徑之比。按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓,Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮。古人云:種瓜得瓜,種豆得豆。“種”圓得圓,“種”線得線,謂之“瓜豆原理”。6/10【思考1]如圖,P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),A為定點(diǎn),連接AP,以AP為一邊作等邊△APQ。考慮:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)軌跡是什么?【思考2]如圖,P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),A為定點(diǎn),連接AP,以AP為斜邊作等腰直角△APQ。考慮:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),如何作出Q點(diǎn)軌跡?典型例題【例1】如圖,點(diǎn)P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C是MB的中點(diǎn),則AC的最小值是。【例2】如圖,在等腰Rt^【例2】如圖,在等腰Rt^ABC中,AC=BC=2<2,點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點(diǎn),當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為7/10【例3】(2018南通中考)如圖,正方形ABCD中,AB2不,O是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),OE=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AE、CF.求線段OF長(zhǎng)的最小值.【例4】4【例4】4ABC中,的最大值為 4B=4,4c=2,以BC為邊在4ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點(diǎn)O,則線段AO8/10鞏固練習(xí)1、(2020年,連云港中考,16題,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,半徑為2的OO與x軸的正半3軸至于點(diǎn)A,點(diǎn)B是EO上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn),直線y=x-3與x軸、y軸分別至于點(diǎn)D、E,4則ACDE面積的最小值為。2、(2020年,南通中考,10題,3分)如圖,在^ABC中,AB=2,NABC=60°,NACB=45°,D是BC的中點(diǎn),直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,AE±l,8?^1,垂足分別為E,F,則AE+BF的最大值為( )A.6B.2?月 C.2/3D.333、(2020年,無(wú)錫中考,18題,3分)如圖,在Rt^ABC中,NACB=90°,AB=4,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且DB=2AD,AE=3AC連接BE,CD,相交于點(diǎn)O,則4ABO面積最大值為。變
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