會計學1D102對坐標曲線積分278991)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點在機動目錄上頁下頁返回結束第1頁/共27頁3)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個小弧段的最大長度)機動目錄上頁下頁返回結束第2頁/共27頁2.定義.設

L

為xoy

平面內從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數,在L上定義了一個向量函數極限記作機動目錄上頁下頁返回結束第3頁/共27頁若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標的曲線積分也可寫作類似地,機動目錄上頁下頁返回結束第4頁/共27頁3.性質(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!機動目錄上頁下頁返回結束第5頁/共27頁二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數方程為則曲線積分連續,證明:

下面先證存在,且有機動目錄上頁下頁返回結束第6頁/共27頁對應參數設分點根據定義由于對應參數因為L為光滑弧,同理可證機動目錄上頁下頁返回結束第7頁/共27頁特別是,如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有定理目錄上頁下頁返回結束第8頁/共27頁例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數,則解法2取y

為參數,則從點的一段.機動目錄上頁下頁返回結束第9頁/共27頁例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數方程為(2)取L的方程為則則機動目錄上頁下頁返回結束第10頁/共27頁例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機動目錄上頁下頁返回結束第11頁/共27頁例4.設在力場作用下,質點由沿移動到解:(1)(2)

的參數方程為試求力場對質點所作的功.其中為機動目錄上頁下頁返回結束第12頁/共27頁例5.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取的參數方程機動目錄上頁下頁返回結束第13頁/共27頁三、兩類曲線積分之間的聯系設有向光滑弧L

以弧長為參數

的參數方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯系機動目錄上頁下頁返回結束第14頁/共27頁類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯系是令記A

在t

上的投影為機動目錄上頁下頁返回結束第15頁/共27頁二者夾角為例6.設曲線段L

的長度為s,證明續,證:設說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連機動目錄上頁下頁返回結束第16頁/共27頁例7.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周機動目錄上頁下頁返回結束第17頁/共27頁1.定義2.性質(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內容小結機動目錄上頁下頁返回結束第18頁/共27頁3.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧機動目錄上頁下頁返回結束第19頁/共27頁4.兩類曲線積分的聯系?

對空間有向光滑弧

:機動目錄上頁下頁返回結束第20頁/共27頁原點O

的距離成正比,思考與練習1.設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:(解見P139例5)F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則機動目錄上頁下頁返回結束第21頁/共27頁2.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機動目錄上頁下頁返回結束第22頁/共27頁作業P1413(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三節目錄上頁下頁返回結束第23頁/共27頁備用題

1.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質點在力場F

作用下由點機動目錄上頁下頁返回結束第24頁/共27頁2.

設曲線C為曲面與曲面從ox

軸正向看去為