第二章

連續系統的時域分析第二章連續系統的時域分析2.1LTI連續系統的響應

一、微分方程的經典解二、關于0-和0+初始值

三、零輸入響應和零狀態響應2.2沖激響應和階躍響應

一、沖激響應二、階躍響應2.3卷積積分

一、信號時域分解與卷積二、卷積的圖解2.4卷積積分的性質

一、卷積代數

二、奇異函數的卷積特性

三、卷積的微積分性質

四、卷積的時移特性點擊目錄，進入相關章節第二章連續系統的時域分析

LTI連續系統的時域分析，歸結為：建立并求解線性微分方程。由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間t，故稱為時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。

第二章連續系統的時域分析第二章連續系統的時域分析2.1LTI連續系統的響應一、微分方程的經典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)第二章連續系統的時域分析微分方程的經典解：

y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）齊次解是齊次微分方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

的解。yh(t)的函數形式,由上述微分方程的特征根確定。特解的函數形式與激勵函數的形式有關。P43表2-1、2-22.1LTI連續系統的響應例

描述某系統的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）當f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時的全解；（2）當f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。齊次解的函數形式僅與系統本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數形式無關，稱為系統的固有響應或自由響應；特解的函數形式由激勵確定，稱為強迫響應。解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0其特征根

λ1=–2，λ2=–3。齊次解為

yh(t)=C1e–2t+C2e–3t2.1LTI連續系統的響應

由表2-2可知，當f(t)=2e–t時，其特解可設為

yp(t)=Pe

–t將其代入微分方程得

Pe

–t+5(–Pe

–t)+6Pe–t=2e–t

解得P=1于是特解為yp(t)=e–t全解為：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常數C1,C2由初始條件確定。

y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1

解得C1=3，C2=–2

最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0（2）齊次解同上。當激勵

f(t)=e–2t時，其指數與特征根之一相重。由表知：其特解為

yp(t)=(P1t+P0)e–2t

代入微分方程可得

P1e-2t=e–2t

所以P1=1但P0不能求得。全解為

y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t

=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入，得

y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0

解得

C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解為

y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥02.1LTI連續系統的響應2.1LTI連續系統的響應二、關于0-和0+初始值

而y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統的歷史信息。在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了系統的歷史情況而與激勵無關。稱這些值為初始狀態或起始值。

通常，對于具體的系統，初始狀態一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態y(j)(0-)設法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。

例：描述某系統的微分方程為

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。2.1LTI連續系統的響應解：將輸入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）利用系數匹配法分析：上式對于t=0-也成立，在0-<t<0+區間等號兩端δ(t)項的系數應相等。

由于等號右端為2δ(t)，故y”(t)應包含沖激函數，從而y’(t)在t=0處將發生躍變，即y’(0+)≠y’(0-)。但y’(t)不含沖激函數，否則y”(t)將含有δ’(t)項。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0處是連續的。故y(0+)=y(0-)=22.1LTI連續系統的響應y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)對式(1)兩端積分有（1）于是由上式得

[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-)]=2考慮y(0+)=y(0-)=2，所以

y’(0+)–y’(0-)=2，y’(0+)=y’(0-)+2=2由上可見，當微分方程等號右端含有沖激函數（及其各階導數）時，響應y(t)及其各階導數中，有些在t=0處將發生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變。2.1LTI連續系統的響應y(0+)=y(0-)=2

2.1LTI連續系統的響應三、零輸入響應和零狀態響應

y(t)=yzi(t)+yzs(t),也可以分別用經典法求解。注意：對t=0時接入激勵f(t)的系統，初始值

yzi(j)(0+),yzs(j)(0+)(j=0，1，2，…，n-1)的計算:y(j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)對于零輸入響應，由于激勵為零，故有

yzi(j)(0+)=yzs(j)(0-)=y(j)(0-)對于零狀態響應，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應有

yzs(j)(0-)=0yzs(j)(0+)的求法下面舉例說明。2.1LTI連續系統的響應例：描述某系統的微分方程為

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求該系統的零輸入響應和零狀態響應。解：（1）零輸入響應yzi(t)激勵為0，故yzi(t)滿足

yzi”(t)+3yzi’(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=0

該齊次方程的特征根為–1，–2，故

yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t

代入初始值并解得系數為Czi1=4,Czi2=–2，代入得

yzi(t)=4e–t–2e–2t,t≥

02.1LTI連續系統的響應（2）零狀態響應yzs(t)

滿足yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs

(t)=2δ(t)+6ε(t)并有

yzs

(0-)=yzs’(0-)=0由于上式等號右端含有δ(t)，故yzs”(t)含有δ(t)，從而yzs’(t)躍變，即yzs’(0+)≠yzs’(0-)，而yzs(t)在t=0連續，即yzs

(0+)=yzs

(0-)=0，積分得

[yzs’(0+)-yzs’(0-)]+3[yzs

(0+)-yzs

(0-)]+2

因此，yzs’(0+)=2–yzs’(0-)=2

[yzs’(0+)-yzs’(0-)]=2對t>0時，有yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs

(t)=6不難求得其齊次解為Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解為常數3，于是有yzs

(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得yzs

(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥0yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs

(t)=2δ(t)+6ε(t)yzs

(0+)=yzs

(0-)=0yzs’(0+)=2–yzs’(0-)=2

2.1LTI連續系統的響應2.2

沖激響應和階躍響應2.2

沖激響應和階躍響應一、沖激響應由單位沖激函數δ(t)所引起的零狀態響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]

例1

描述某系統的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應h(t)。解根據h(t)的定義有

h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0

先求h’(0+)和h(0+)。因方程右端有δ(t)，故利用系數平衡法。2.2

沖激響應和階躍響應h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0連續，即h(0+)=h(0-)。積分得考慮h(0+)=h(0-)，由上式可得

h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1對t>0時，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系統的沖激響應為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統的沖激響應為

h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1,所以

h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=12.2

沖激響應和階躍響應

例2

描述某系統的微分方程為

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)

求其沖激響應h(t)。解先設h1(t)能滿足:h1”(t)+5h1’(t)+6h1(t)=δ(t)……….(1)h1’(0-)=h1(0-)=0

由例1求得:h1(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)

h1’(t)=(e-2t-e-3t)δ(t)+(-2e-2t+3e-3t)ε(t)

h(t)=h1”(t)+2h1’(t)+3h1(t)=(-2e-2t+3e-3t)ε(t)…………（4）…………（3）…………（2）2.2

沖激響應和階躍響應h1(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)

)h1’(t)=(-2e-2t+3e-3t)ε(t)

h(t)=h1”(t)+2h1’(t)+3h1(t)…………（4）…………（3）…………（2）二、階躍響應g(t)=T[ε(t)，{0}]由于δ(t)與ε(t)為微積分關系，故2.3

卷積積分2.3

卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解(1)預備知識n→∞直觀看出pn(t)D1t02D2D-(a)f1(t)At02D-2D(b)2.3

卷積積分(2)任意信號分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△，用pn(t)表示為：

f(0)△

pn(t)“1”號脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：

f(△)△

pn

(t-△)“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為

f(-△)△

pn

(t+△)2D-2Df(t)t023Df(0))(Df(-D)f2.3

卷積積分2.任意信號作用下的零狀態響應yzs(t)f(t)根據h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yzs(t)卷積積分2.3

卷積積分3.卷積積分的定義已知定義在區間（–∞，∞）上的兩個函數f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，t為參變量。結果仍為t的函數。

2.3

卷積積分例：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yzs(t)。解：yzs(t)=f(t)*h(t)當t<τ，即τ>t時，ε(t-τ)=02.3

卷積積分二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉平移：由f2(τ)反轉→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。注意：t為參變量。下面舉例說明。2.3

卷積積分例f(t),h(t)

如圖所示，求yzs(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用圖形卷積。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移th(t)函數形式復雜換元為h(τ)。

f(t)換元f(τ)0f(τ

)τ0211τh(τ

)220①t<0②0≤t≤1

③1≤t≤2⑤3≤t④2≤t≤3

求f(t-τ)h(τ)①t<0時,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

時,f(t-τ)向右移③1≤t≤2時⑤3≤t時f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0④2≤t≤3

時02.3

卷積積分圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。確定積分的上下限是關鍵。例：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）2.4

卷積積分的性質2.4

卷積積分的性質卷積積分是一種數學運算，它有許多重要的性質（或運算規則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。下面討論均設卷積積分是收斂的（或存在的）。一、卷積代數滿足乘法的三律：交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.

分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.

結合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]系統并聯運算：系統級聯：2.4

卷積積分的性質二、奇異函數的卷積特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：推廣：對t1t1t2t1t1+t22.4

卷積積分的性質三、卷積的微積分性質對若則：推廣：特別關系2.4

卷積積分的性質例1：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε