方程的根與函數的零點問題·探究今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但在數學發展史上，方程的求解卻經歷了相當漫長的歲月.

我國古代數學家在約公元50年—100年編成的《九章算術》，給出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具體方法…

花拉子米(約780～約850)給出了一次方程和二次方程的一般解法。阿貝爾(1802～1829)挪威數學家.證明了五次以上一般方程沒有求根公式。卡爾達諾，意大利數學家，他第一個發表了三次代數方程一般解法的卡爾達諾公式，也稱卡當公式（解法的思路來自塔塔利亞，兩人因此結怨，爭論多年）。他的學生費拉里第一個求出四次方程的代數解。韋達是法國十六世紀最有影響的數學家之一。第一個引進系統的代數符號，并對方程論做了改進。韋達討論了方程根的各種有理變換，發現了方程根與系數之間的關系即“韋達定理”。xy0－132112－1－2－3－42023/1/118

函數的圖像與x軸交點方程函數函數的圖像方程的實數根x1=－1,x2=3x1=x2=1無實數根(－1,0)、(3,0)(1,0)無交點xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1x2－2x－3=0y=x2－2x+32023/1/11102023/1/1111

判別式=b2-4ac>00<0

二次函數y=ax2+bx+c

的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0

的根二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點有兩個不等的實數根x1，x2

有兩個相等實數根x1=x2沒有實數根xyx1x2xyx1=x2xy一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0）的圖像有如下關系：(x1,0)，

(x2,0)(x1,0)沒有交點2023/1/1112方程的實數根就是對應函數圖像與x軸交點的橫坐標。結論1、函數零點的定義對于函數，我們把使的實數x

叫做函數的零點。方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)的圖像與x軸有交點函數y=f(x)有零點2、結論對零點的理解："數"的角度："形"的角度：即是使f(x)=0的實數x的值即是函數f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標求函數零點的方法：(1)方程法：(2)圖象法：解方程f(x)=0,得到y=f(x)的零點畫出函數y=f(x)的圖象,其圖象與x軸交點的橫坐標是函數y=

f(x)的零點2023/1/1115xy02023/1/1116abab問題6：如果將定義域改為區間[a,b]觀察圖像說一說零點個數的情況，有什么發現？abxy0結論abxy0

函數的圖像在閉區間[a,b]上連續不斷。結論2023/1/1118問題8：滿足上述兩個條件，能否確定零點個數呢？0yxxy0

有零點，至少有一個，但不確定個數，即存在零點。結論結論對函數零點的存在性定理的理解(1)函數零點的存在性定理只能判斷函數零點的存在性，不能判斷零點的個數.(2)只要函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象連續不斷，且在區間[a,b]兩端的函數值異號,則函數y=f(x)在區間[a,b]上必定存在零點.(3)若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象連續不斷,且函數y=f(x)在區間[a,b]也存在零點,則函數y=f(x)在區間[a,b]兩端的函數值可能同號也可能異號.利用函數零點的存在性定理求函數零點的步驟(1)確定函數y=f(x)在[a,b]上連續;(2)若f(a)·f(b)<0,則在(a,b)內存在零點.(3)存在c∈(a,b),使得f(c)=0,則c是零點.x0－2－4－6105y241086121487643219表3--1x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972解：用計算器或計算機作出的對應值表（表3--1）和圖像。問題10：為什么上個問題中只有一個零點呢？說一說理由？函數零點方程根，圖象連續總有痕。數形本是同根生，端值計算是根本。借問零點何處有，端值互異零點生。溫馨提示例1.求下列函數的零點（1）y=2x-1（2）y=-x2+6x+7（3）y=x3-4x.例2、若函數f(x)=x2-ax-b的兩個零點是2和3，求loga25+b2.例3、二次函數，則函數的零點個數為_____例4、若方程在（0，1）內恰有一解，求實數a的取值范圍。例5、已知關于x的方程的一個根在(-2,0)內，另一根在(1,3)內，求實數a的取值范圍.例6.求下列函數的零點個數（1）已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根