第二章推理與證明第一頁，編輯于星期一：八點七分。第二頁，編輯于星期一：八點七分。第三頁，編輯于星期一：八點七分。第四頁，編輯于星期一：八點七分。歸納是通過對特例的觀察和綜合去發現一般規律，一般通過觀察圖形或分析式子尋找規律，歸納過程的典型步驟是：先在諸多特例中發現某些相似性，再把相似性推廣為一個明確表述的一般命題，最后對該命題進行檢驗或論證．第五頁，編輯于星期一：八點七分。[例1]在德國布萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個乒乓球；第2,3,4、…堆最底層(第一層)分別按如圖所示方式固定擺放．從第二層開始，每層的乒乓球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數，則f(3)＝________；f(n)＝________(答案用n表示)．第六頁，編輯于星期一：八點七分。第七頁，編輯于星期一：八點七分。第八頁，編輯于星期一：八點七分。第九頁，編輯于星期一：八點七分。類比是提出新問題和作出新發現的一個重要源泉，是一種較高層次的信息遷移，應用類比的關鍵就在于如何把相關對象在某些方面的一致性說清楚．常見的類比題型有兩類：一類是類比舊知識，推出新結論；另一類是類比新知識，推出新結論．第十頁，編輯于星期一：八點七分。[例2]如圖①所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想．第十一頁，編輯于星期一：八點七分。[解析]

如圖②所示，在四面體P－ABC中，設S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小．我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現形式應為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.第十二頁，編輯于星期一：八點七分。第十三頁，編輯于星期一：八點七分。從思維過程的指向來看，演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提，而做出關于該類事物的判斷的思維過程，因此是從一般到特殊的推理．數學中的演繹法一般是以三段論的格式進行的．三段論由大前提、小前提和結論三個命題組成，大前提是一個一般性原理；小前提給出了適合這個原理的一個特殊場合，結論是大前提和小前提的邏輯結果．第十四頁，編輯于星期一：八點七分。第十五頁，編輯于星期一：八點七分。第十六頁，編輯于星期一：八點七分。綜合法是我們在已經儲存了大量的知識積累了豐富的經驗的基礎上所用的一種方法，其優點是敘述起來簡潔、直觀、條理、清楚，綜合法可使我們從已知的知識中進一步獲得新知識．[例4]

已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a>b>c)的圖象與x軸有兩個不同的交點A，B，且f(1)＝0.第十七頁，編輯于星期一：八點七分。第十八頁，編輯于星期一：八點七分。第十九頁，編輯于星期一：八點七分。分析法是一種從未知到已知的邏輯推理方法．在探求問題的證明時，它可以幫助我們構思，因而在一般分析問題時，較多地采用分析法，只是找到思路后，往往用綜合法加以敘述，正如恩格斯所說“沒有分析就沒有綜合”，在數學證明中不能把分析法和綜合法絕對分開．第二十頁，編輯于星期一：八點七分。第二十一頁，編輯于星期一：八點七分。第二十二頁，編輯于星期一：八點七分。反證法不是去直接證明結論，而是先否定結論，在此基礎上運用演繹推理，導出矛盾，從而肯定結論的真實性．第二十三頁，編輯于星期一：八點七分。第二十四頁，編輯于星期一：八點七分。數學歸納法是專門證明與正整數有關的命題的一種方法．它是一種完全歸納法，它的證明共分兩步，其中第一步是命題成立的基礎，稱為“歸納基礎”(或稱特殊性)．第二步解決的是延續性(又稱傳遞性)問題．運用數學歸納法證明有關命題要注意以下幾點：1．兩個步驟缺一不可．2．第二步中，證明“當n＝k＋1時結論正確”的過程里，必須利用“歸納假設”即必須用上“當n＝k時結論正確”這一結論．第二十五頁，編輯于星期一：八點七分。3．在第二步的證明中，“當n＝k時結論正確”這一歸納假設起著已知的作用，“當n＝k＋1時結論正確”則是求證的目標．在這一步中，一般首先要湊出歸納假設里給出的形式，以便利用歸納假設，然后再去湊出當n＝k＋1時的結論．數學歸納法可以用來證明與正整數有關的代數恒等式、三角恒等式、不等式、整除性問題及幾何問題．第二十六頁，編輯于星期一：八點七分。第二十七頁，編輯于星期一：八點七分。[分析]本小題主要考查數列的通項公式、等比數列的定義、遞推數列、不等式等基礎知識和基本技能，同時考查分析、歸納、探究和推理論證問題的能力，在解題過程中也滲透了對函數與方程思想、化歸與轉化思想的考查．(1)利用取倒數構