2021-2022學年天津寧河縣潘莊鎮潘莊中學高二數學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a=2bcosC，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形參考答案：A【考點】三角形的形狀判斷．【分析】利用正弦定理以及三角形的內角和，兩角和的正弦函數化簡a=2bcosC，求出B與C的關系，即可判斷三角形的形狀．【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因為A+B+C=π，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因為A、B、C是三角形內角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故選：A．2.用數學歸納法證明時，由“”等式兩邊需同乘一個代數式，它是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】只需將和分別代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，則可以得出結果.【詳解】由題意有，假設時，成立，則當時，左邊右邊∴由數學歸納法可知上式成立∴顯然等式兩邊需同乘故選：D.【點睛】本題僅僅是考查學生對數學歸納法的運用情況，要求學生會對復雜式子進行變形，以及運用數學歸納法時候能夠根據所設條件得出相關類似結論，對學生數學運算能力要求較高，能具備相關推理思維，為中等難度題型.3.甲、乙兩名同學8次數學測驗成績如莖葉圖所示，1，2分別表示甲、乙兩名同學8次數學測驗成績的平均數，s1，s2分別表示甲、乙兩名同學8次數學測驗成績的標準差，則有（）A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2參考答案：B【考點】眾數、中位數、平均數；莖葉圖．【分析】根據莖葉圖中的數據，計算出甲、乙同學測試成績的平均數與方差、標準差，即可得出結論【解答】解：由莖葉圖可知，甲的成績分別為：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成績分別為：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故選：B4.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F，且EF＝，則下列結論中錯誤的是

()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A－BEF的體積為定值D．△AEF的面積與△BEF的面積相等參考答案：D略5.設△ABC的三內角A、B、C成等差數列，sinA、sinB、sinC成等比數列，則這個三角形的形狀是（

）A．直角三角形

B.鈍角三角形C．等腰直角三角形

D．等邊三角形參考答案：D6.設函數的反函數是，則的值為（

）A．

B．

C．1

D．2參考答案：A7.(

)A． B．

C．

D．參考答案：D略8.函數的圖象如右圖，則的一組可能值為（A） （B）

（C）

（D）參考答案：D9.已知等差數列{}的前項和為，且，則(

)A．

B．

C．

D.參考答案：A略10.“命題為真命題”是“命題為真命題”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A【知識點】充分條件與必要條件【試題解析】因為由為真命題，得p、q均為真命題，能推出真命題，但反之不成立，所以，是充分不必要條件

故答案為：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則________.參考答案：12.已知函數在區間（1,3）內不單調，則實數a的取值范圍是______.參考答案：或【分析】求得函數的導函數，對分成兩類，根據函數在內不單調列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，，當時，，單調遞增，不符合題意.當時，構造函數，函數的對稱軸為，要使在內不單調，則需，即，解得或.【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.13.已知二次函數y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，當a=1，2，…，n，…時，其拋物線在x軸上截得的線段長依次為d1,d2，…,dn,…,則d1+d2+…+dn=_____________參考答案：解析：當a=n時y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn略14.橢圓+=1（a為定值，且a＞）的左焦點為F，直線x=m與橢圓交于點A，B，△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】先畫出圖象，結合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長的表達式，進而求出何時周長最大，即可求出橢圓的離心率．【解答】解：設橢圓的右焦點E．如圖：由橢圓的定義得：△FAB的周長為：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，當AB過點E時取等號；∴△FAB的周長：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周長的最大值是4a=12?a=3；∴e===．故答案：．15.已知△ABC的面積為，且b=2，c=，則

參考答案：或16.直線x+y﹣1=0的傾斜角是．參考答案：【考點】直線的傾斜角．【分析】設直線x+y﹣1=0的傾斜角為θ．由直線x+y﹣1=0化為y=﹣x+1，可得，即可得出．【解答】解：設直線x+y﹣1=0的傾斜角為θ．由直線x+y﹣1=0化為y=﹣x+1，∴，∵θ∈[0，π），∴．故答案為：．17.復數的共軛復數在復平面上的對應點在第一象限內，則實數的取范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分16分)在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，兩個頂點分別為，．過點的直線交橢圓于M，N兩點，直線與的交點為G．(1)求橢圓的標準方程；(2)求證：點G在一條定直線上．

參考答案：解(1)由橢圓兩個頂點分別為，題設可知．-----------------2分因為，即，所以．又因為，所以．

---------------------4分所以，所求的橢圓的標準方程為.

--------------------6分(2)解法一：由題意知，直線與直線的斜率存在，故設直線的方程為，直線的方程為．

--------------------------8分聯立方程組，消去y得，解得點．同理，解得點.

----------------------12分由M，D，N三點共線，有，化簡得．由題設可知與同號，所以．

--------------------------14分聯立方程組，解得交點．將代入點G的橫坐標，得．所以，點G恒在定直線上．

--------16分解法二：顯然，直線MN的斜率為時不合題意．設直線MN的方程為．

令，解得或．當時，直線的方程為，直線的方程為．聯立方程組，解得交點；當時，由對稱性可知交點．若點G恒在一條定直線上，則此定直線必為．

---------------------------------------10分下面證明對于任意的實數，直線與直線的交點均在直線上．設．由點，，三點共線，有，即．再由點，，三點共線，有，即．所以，．①將，代入①式，化簡得．②

----------------14分聯立方程組，消去得，從而有．將其代入②式，有成立．故當m為任意實數時，直線與直線的交點G均在直線上．---------------------16分

19.求以原點為頂點，坐標軸為對稱軸，并且經過點P（﹣4，﹣2）的拋物線的標準方程．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】根據題意，由拋物線經過點P的坐標，分析可得其圖象開口向下或向左，進而分開口向下或向左2種情況討論，分別求出拋物線的標準方程，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，要求的拋物線過點P（﹣4，﹣2），則其圖象過第三象限，其開口向下或向左，若開口向下，設其方程為x2=﹣2py，又由其過P（﹣4，﹣2），則有（﹣4）2=﹣2p×（﹣2），解可得p=﹣4，則其方程為x2=﹣8y，若開口向左，設其方程為y2=﹣2px，又由其過P（﹣4，﹣2），則有（﹣2）2=﹣2p×（﹣4），解可得p=﹣，則其方程為y2=﹣x，拋物線方程為x2=﹣8y或y2=﹣x．20.已知數列{an}滿足：a1=3，an=an﹣1+2n﹣1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求數列{an}的通項；（Ⅱ）若bn=n（an﹣1）（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Sn；（Ⅲ）設cn=，Tn=2c1+22c2+…+2ncn（n∈N*），求證：Tn＜（n∈N*）．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【專題】綜合題；轉化思想；數學模型法；等差數列與等比數列．【分析】（I）利用“累加求和”即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）及題設知：，利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出；（III）利用“裂項求和”即可得出．【解答】（I）解：∵，∴當n≥2時，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣1﹣an﹣2）+（an﹣an﹣1）=；又，故．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及題設知：，∴∴∴．（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）及題設知：，∴，∴即

，∴．【點評】本題考查了“累加求和”方法、“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）在中，內角的對邊分別為，且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值.參考答案：解：(Ⅰ)由正弦定理可