第2章測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理

第2章測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理

1授課課時(shí)：4學(xué)時(shí)主要內(nèi)容：測(cè)量誤差、誤差的定義；誤差的分析方法誤差的類型，誤差的處理方法。重點(diǎn)和難點(diǎn):誤差的定義、誤差的分析方法、誤差的類型，隨機(jī)誤差的處理及合成，隨機(jī)誤差分析、系統(tǒng)誤差分析、測(cè)量數(shù)據(jù)的處理

授課課時(shí)：4學(xué)時(shí)2主要章節(jié)2.1測(cè)量誤差2.2測(cè)量誤差的來(lái)源2.3誤差的分類2.4隨機(jī)誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6間接測(cè)量的誤差傳遞與分配2.7誤差的合成2.8測(cè)量數(shù)據(jù)的處理2.9最小二乘法主要章節(jié)2.1測(cè)量誤差32.1測(cè)量誤差1.誤差(術(shù)語(yǔ)、名詞）1）真值A(chǔ)0一個(gè)物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值稱作它的真值。2）指定值A(chǔ)s

一般由國(guó)家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位的指定值。3）實(shí)際值A(chǔ)

國(guó)家通過一系列的各級(jí)實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國(guó)家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級(jí)比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。在每一級(jí)的比較中，都以上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無(wú)誤的值，通常稱為實(shí)際值，也叫作相對(duì)真值。2.1測(cè)量誤差1.誤差(術(shù)語(yǔ)、名詞）44）標(biāo)稱值

測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值。

5）示值

由測(cè)量器具指示的被測(cè)量量值稱為測(cè)量器具的示值，也稱測(cè)量器具的測(cè)得值或測(cè)量值，它包括數(shù)值和單位。6）測(cè)量誤差

測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值與被測(cè)量真值之間的差異，稱為測(cè)量誤差。

7）單次測(cè)量和多次測(cè)量4）標(biāo)稱值58）等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量等精度測(cè)量:在保持測(cè)量條件不變的情況下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次測(cè)量過程稱作等精度測(cè)量。非等精度測(cè)量:如果在同一被測(cè)量的多次重復(fù)測(cè)量中，不是所有測(cè)量條件都維持不變(比如，改變了測(cè)量方法，或更換了測(cè)量?jī)x器，或改變了聯(lián)接方式，或測(cè)量環(huán)境發(fā)生了變化，或前后不是一個(gè)操作者，或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等)，這樣的測(cè)量稱為非等精度測(cè)量或不等精度測(cè)量。8）等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量62.誤差的表示方法1）絕對(duì)誤差:

絕對(duì)誤差定義為

△x=x-A0

式中：△x為絕對(duì)誤差，x為測(cè)得值，A0為被測(cè)量真值。2）相對(duì)誤差實(shí)際相對(duì)誤差示值相對(duì)誤差2.誤差的表示方法7滿度（或引用）相對(duì)誤差:（通常用于表達(dá)精度）

滿度相對(duì)誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對(duì)誤差與儀器滿度值（量程上限值）的百分比值滿度（或引用）相對(duì)誤差:（通常用于表達(dá)精度）82.2測(cè)量誤差的來(lái)源1.儀器誤差

又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測(cè)量?jī)x器設(shè)備帶有的誤差。

2．人身誤差人身誤差主要指由于測(cè)量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等而對(duì)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。2.2測(cè)量誤差的來(lái)源1.儀器誤差93．影響誤差

影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。4．方法誤差

方法誤差是所使用的測(cè)量方法不當(dāng)，或?qū)y(cè)量設(shè)備操作使用不當(dāng)，或測(cè)量所依據(jù)的理論不嚴(yán)格，或?qū)y(cè)量計(jì)算公式不適當(dāng)簡(jiǎn)化等原因而造成的誤差，方法誤差也稱作理論誤差。3．影響誤差102.3誤差的分類1.系統(tǒng)誤差

在多次等精度測(cè)量同一恒定量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)按某種規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。

2.隨機(jī)誤差：

隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對(duì)同一恒定量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)無(wú)規(guī)則變化的誤差。3.粗大誤差：在一定的測(cè)量條件下，測(cè)得值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡(jiǎn)稱粗差。2.3誤差的分類1.系統(tǒng)誤差11N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有隨機(jī)誤差累進(jìn)系統(tǒng)誤差恒定系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有隨機(jī)誤差12

1.隨機(jī)誤差（偶然誤差）的定義

是指在相同條件下，對(duì)同一恒定量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)無(wú)規(guī)則變化的誤差。

就單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，則服從正態(tài)分布規(guī)律，隨機(jī)誤差的特點(diǎn)為對(duì)稱性、有界性、單峰性、抵償性。f()2.4隨機(jī)誤差分析f()2.4隨機(jī)誤差分析13問題

測(cè)量總是存在誤差，而且誤差究竟等于多少難以確定，那么，從測(cè)量值如何得到真實(shí)值呢？

例如：測(cè)量室溫，6次測(cè)量結(jié)果分別為19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃,19.5℃,那么室溫究竟是多少呢？

X=A±，(置信概率為p)x的真值落在[A-，A+]區(qū)間內(nèi)的概率為p

A和如何確定呢？問題測(cè)量總是存在誤差，而且誤差究竟等于多少難以確定，那142.測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1）數(shù)學(xué)期望

對(duì)被測(cè)量x進(jìn)行等精度n次測(cè)量，得到n個(gè)測(cè)量值x1，x2，x3，…，xn。則n個(gè)測(cè)得值的算術(shù)平均值為：2.測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1）數(shù)學(xué)期望15數(shù)學(xué)期望引例1分賭本問題（17世紀(jì)著名概率問題）A，B兩人賭技相同，各出賭金100元，并約定先勝三局者，取得全部200元。由于出現(xiàn)意外情況，在A勝2局B勝1局時(shí)，不得不終止賭博，如果要分賭金，該如何分配才算公平？數(shù)學(xué)期望16分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局，則結(jié)果有以下四種情況：AAAB

BABBA勝B負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)前三局A勝2局B勝1局，與上述結(jié)果相結(jié)合。即A,B賭完5局，

前三局：A勝2局B勝1局后二局：AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局，則結(jié)果有以下四種情況：17在賭技相同的情況下，A,B最終獲得勝利的可能性大小之比為3:1即A應(yīng)獲得賭金的3/4，B獲得賭金的1/4故，A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)該為：

200×3/4+0×1/4=150元B能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)該為：200×1/4+0×3/4=50元在賭技相同的情況下，A,B最終獲得勝利的可能性大小之比為3:18

當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，樣本平均值的極限定義為測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望。當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量的真值。分析：當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，樣本平均值的極限19根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償特性，當(dāng)時(shí)=0，即所以，當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量的真值。根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償特性，當(dāng)202)剩余誤差（殘差）

當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，測(cè)得值與算術(shù)平均值之差。數(shù)學(xué)表達(dá)式：對(duì)上式兩邊求和得：所以可得剩余誤差得代數(shù)和為0。2)剩余誤差（殘差）當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，測(cè)得值與算術(shù)平均214)標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差，均方根誤差）

σ反映了測(cè)量的精密度，σ小表示精密度高，測(cè)得值集中，σ大，表示精密度底，測(cè)得值分散。3)方差4)標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差，均方根誤差）σ反映了測(cè)量的精密度，σ小22δf(δ)3.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布分析正態(tài)分布高斯于1809年推導(dǎo)出描述隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)特性的解析方程式，稱高斯分布規(guī)律。隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差曲線下面的面積對(duì)應(yīng)誤差在不同區(qū)間出現(xiàn)的概率。δf(δ)3.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布分析正態(tài)分布隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差23例如：δf(δ)δf(δ)24從正態(tài)分布曲線可看出：

①δ絕對(duì)值越小，愈大，說明絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大。②大小相等符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等。δf(δ)從正態(tài)分布曲線可看出：δf(δ)25③σ愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，σ愈大，正態(tài)分布曲線愈平緩。說明σ反映了測(cè)量的精密度。σ=1σ=2③σ愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，σ愈大，正態(tài)分布曲線愈平緩。說264.隨機(jī)誤差表達(dá)式1）剩余誤差的表達(dá)形式2）最大絕對(duì)誤差表達(dá)形式3）標(biāo)準(zhǔn)偏差的表達(dá)形式

4）算術(shù)平均誤差表達(dá)形式4.隨機(jī)誤差表達(dá)式27

5)或然誤差表達(dá)形式

6)極限誤差Δ

從上式可見，隨機(jī)誤差絕對(duì)值大于3σ的概率很小，只有0.3%，出現(xiàn)的可能性很小。因此定義：假如絕對(duì)誤差不在極限誤差范圍內(nèi)，認(rèn)定為粗差。

5)或然誤差表達(dá)形式

6)極限誤差Δ從上式可見，隨機(jī)28隨機(jī)誤差的特點(diǎn)單峰性誤差絕對(duì)值越小，出現(xiàn)密度越大，誤差絕對(duì)值越大，出現(xiàn)密度越小對(duì)稱性絕對(duì)值相同，符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等抵償性當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，誤差總和為零有界性誤差落[-3,3]的概率為0.9973

3也稱為極限誤差或者誤差限隨機(jī)誤差的特點(diǎn)單峰性誤差絕對(duì)值越小，出現(xiàn)密度越大，誤差絕對(duì)295.標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算采用殘差代替隨機(jī)誤差有限次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計(jì)值（近似標(biāo)準(zhǔn)誤差）標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差，均方根誤差）：貝塞爾公式5.標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算采用殘差代替隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差，均方306.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差1）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差2）平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計(jì)值（近似平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差）6.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差317.有限次測(cè)量下測(cè)量結(jié)果表達(dá)式步驟：1）列出測(cè)量數(shù)據(jù)表；2）計(jì)算算術(shù)平均值、、；3）計(jì)算和；置信概率0.9973

4）給出最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式：7.有限次測(cè)量下測(cè)量結(jié)果表達(dá)式2）計(jì)算算術(shù)平均值322.5系統(tǒng)誤差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累進(jìn)系統(tǒng)誤差恒定系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差1.分類：恒定系統(tǒng)誤差

變化系統(tǒng)誤差2.5系統(tǒng)誤差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累332.系統(tǒng)誤差的判斷1)理論分析法：可通過對(duì)測(cè)量方法的定性分析發(fā)現(xiàn)測(cè)量方法或測(cè)量原理引入的系統(tǒng)誤差。2)校準(zhǔn)和比對(duì)法：測(cè)量?jī)x器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定書中給出修正值。3)改變測(cè)量條件法：根據(jù)在不同的測(cè)量條件下測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，可能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。4)剩余誤差觀察法：根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)列剩余誤差的大小及符號(hào)變化規(guī)律可判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差及誤差類型，這種方法不能發(fā)現(xiàn)定值系統(tǒng)誤差。2.系統(tǒng)誤差的判斷343．消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源要減少系統(tǒng)誤差要注意以下幾個(gè)方面：1)采用的測(cè)量方法及原理正確。2)選用的儀器儀表的類型正確，準(zhǔn)確度滿足要求。3)測(cè)量?jī)x器應(yīng)定期校準(zhǔn)、檢定，測(cè)量前要調(diào)零，應(yīng)按照操作規(guī)程正確使用儀器。對(duì)于精密測(cè)量必要時(shí)要采取穩(wěn)壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。4)條件許可，盡量采用數(shù)顯儀器。5)提高操作人員的操作水平及技能。3．消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源354.削弱系統(tǒng)誤差的方法1)零示法:4.削弱系統(tǒng)誤差的方法362)替代法（置換法）：

在測(cè)量條件不變的情況下，用一標(biāo)準(zhǔn)已知量替代待測(cè)量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使儀器示值不變，于是標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測(cè)量。這兩種方法主要用來(lái)消除定值系統(tǒng)誤差。2)替代法（置換法）：373)利用修正值或修正因數(shù)加以消除。4)隨機(jī)化處理5)智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除直流零位校準(zhǔn)。自動(dòng)校準(zhǔn)。3)利用修正值或修正因數(shù)加以消除。382.7誤差的合成誤差合成：由多個(gè)不同類型的單項(xiàng)誤差求測(cè)量中的總誤差是誤差合成問題。1、隨機(jī)誤差合成

若測(cè)量結(jié)果中有k個(gè)彼此獨(dú)立的隨機(jī)誤差，各個(gè)隨機(jī)誤差互不相關(guān)，各個(gè)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)方差分別為σ1、σ2、σ3、…、σk則隨機(jī)誤差合成的總標(biāo)準(zhǔn)差σ為：2.7誤差的合成誤差合成：由多個(gè)不同類型的單項(xiàng)誤差求測(cè)39若以極限誤差表示，則合成的極限誤差為：當(dāng)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，對(duì)應(yīng)的極限誤差。

若以極限誤差表示，則合成的極限誤差為：當(dāng)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分402、系統(tǒng)誤差的合成1）確定的系統(tǒng)誤差的合成又稱已定系統(tǒng)誤差，是指測(cè)量誤差的大小、方向和變化規(guī)律是可以掌握的。只要是已定的系統(tǒng)誤差，都應(yīng)當(dāng)用代數(shù)的方法計(jì)算其合成誤差。表達(dá)式：

由于所得結(jié)果是明確大小和方向的數(shù)值，故可直接在測(cè)量結(jié)果中修正，在一般情況下最后測(cè)量結(jié)果不應(yīng)含有已定系統(tǒng)誤差的內(nèi)容。2、系統(tǒng)誤差的合成由于所得結(jié)果是明確大小和方向的數(shù)值，412）不確定系統(tǒng)誤差的合成又稱未定系統(tǒng)誤差，指測(cè)量誤差既具有系統(tǒng)誤差可知的一面，又具有不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)誤差一面。在通常情況下，未定系統(tǒng)誤差多以極限誤差的形式給出誤差的最大變化范圍。絕對(duì)值合成法：

當(dāng)m大于10時(shí)，合成誤差估計(jì)值往往偏大。一般應(yīng)用于m小于10。表達(dá)式：2）不確定系統(tǒng)誤差的合成又稱未定系統(tǒng)誤差，指測(cè)量誤差42方和根合成法一般應(yīng)用于m大于10。表達(dá)式：例5：①0.5級(jí)，量程0~600kPa，②h=0.05m，讀數(shù)300kPa，③分度值2kPa，指針來(lái)回?cái)[動(dòng)±1個(gè)格，④環(huán)境溫度30oC，偏離1oC的附加誤差為基本誤差的4%。方和根合成法一般應(yīng)用于m大于10。表達(dá)式：例5：①0.5級(jí)，43儀表精度等級(jí)引起的誤差：讀數(shù)誤差（即分度誤差）2kpa環(huán)境溫度引起誤差：安裝位置引起的誤差：前三項(xiàng)屬于未定系統(tǒng)誤差，最后一項(xiàng)屬于已定系統(tǒng)誤差。前三項(xiàng)按絕對(duì)值合成法：儀表精度等級(jí)引起的誤差：讀數(shù)誤差（即分度誤差）2k443．隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的合成

其中ε為已定系統(tǒng)誤差，e為未定系統(tǒng)誤差，l為隨機(jī)誤差的極限誤差。3．隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的合成452.8

測(cè)量數(shù)據(jù)的處理1.有效數(shù)字的處理1）有效數(shù)字：從數(shù)字的左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到右面最后一個(gè)數(shù)字（包括零）止。2）舍入原則：小于5舍，大于5入，等于5時(shí)采取偶數(shù)法則。12.5寫作12；13.5寫作143）有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則：運(yùn)算時(shí)各個(gè)數(shù)據(jù)保留的位數(shù)一般以精度最差的那一項(xiàng)為基準(zhǔn)。加減法運(yùn)算以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)。乘除法運(yùn)算以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)。乘方、開方運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。

2.8測(cè)量數(shù)據(jù)的處理1.有效數(shù)字的處理462.等精度測(cè)量結(jié)果的處理

1）利用修正值等方法對(duì)測(cè)得值進(jìn)行修正；將數(shù)據(jù)列成表格。3）列出殘差：，并驗(yàn)證2）求算術(shù)平均值：4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差：2.等精度測(cè)量結(jié)果的處理3）列出殘差：475）按照原則判斷測(cè)量數(shù)據(jù)是否含有粗差，若有則予以剔除并轉(zhuǎn)到2從新計(jì)算，直到?jīng)]有壞值為止。6）根據(jù)殘差的變化趨勢(shì)判斷是否含有系統(tǒng)誤差，若有應(yīng)查明原因，消除后從新測(cè)量。7）求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差：8）寫出最終結(jié)果表達(dá)式。5）按照原則判斷測(cè)量數(shù)據(jù)是否含有粗差，若有48例題

使用某水銀玻璃棒溫度計(jì)測(cè)量室溫，共進(jìn)行了16次等精度測(cè)量，測(cè)量結(jié)果列于表中。該溫度計(jì)的檢定書上指出該溫度計(jì)具有0.05℃的恒定系統(tǒng)誤差。請(qǐng)寫出最后的測(cè)量結(jié)果。例題使用某水銀玻璃棒溫度計(jì)測(cè)量室溫，共進(jìn)行了49例題解答（1）例題解答（1）50例題解答（2）判斷是否存在粗大誤差修正恒定系統(tǒng)誤差求出算術(shù)平均值，205.30℃計(jì)算殘差，列于表中計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差（最佳估計(jì)值）判斷有無(wú)壞值，剔除壞值。重新計(jì)算殘差，列于表中。重新計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差。對(duì)殘差做圖，判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差。計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差（最佳估計(jì)值）。寫出測(cè)量結(jié)果例題解答（2）判斷是否存在粗大誤差51例題解答（3）例題解答（3）52思考題1.隨機(jī)誤差的基本特征是什么？2.請(qǐng)寫出描述直接測(cè)量結(jié)果的處理步驟。

思考題1.隨機(jī)誤差的基本特征是什么？53

課后小結(jié)

通過本章學(xué)習(xí)使同學(xué)們掌握測(cè)量誤差的基本概念，定義，測(cè)量誤差的形成來(lái)源和分析，誤差的分類。理解隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、誤差的合成，了解各類誤差的數(shù)據(jù)的處理方法。課后小結(jié)54第2章測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理

第2章測(cè)量誤差和數(shù)據(jù)處理

55授課課時(shí)：4學(xué)時(shí)主要內(nèi)容：測(cè)量誤差、誤差的定義；誤差的分析方法誤差的類型，誤差的處理方法。重點(diǎn)和難點(diǎn):誤差的定義、誤差的分析方法、誤差的類型，隨機(jī)誤差的處理及合成，隨機(jī)誤差分析、系統(tǒng)誤差分析、測(cè)量數(shù)據(jù)的處理

授課課時(shí)：4學(xué)時(shí)56主要章節(jié)2.1測(cè)量誤差2.2測(cè)量誤差的來(lái)源2.3誤差的分類2.4隨機(jī)誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6間接測(cè)量的誤差傳遞與分配2.7誤差的合成2.8測(cè)量數(shù)據(jù)的處理2.9最小二乘法主要章節(jié)2.1測(cè)量誤差572.1測(cè)量誤差1.誤差(術(shù)語(yǔ)、名詞）1）真值A(chǔ)0一個(gè)物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實(shí)數(shù)值稱作它的真值。2）指定值A(chǔ)s

一般由國(guó)家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位的指定值。3）實(shí)際值A(chǔ)

國(guó)家通過一系列的各級(jí)實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國(guó)家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級(jí)比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。在每一級(jí)的比較中，都以上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無(wú)誤的值，通常稱為實(shí)際值，也叫作相對(duì)真值。2.1測(cè)量誤差1.誤差(術(shù)語(yǔ)、名詞）584）標(biāo)稱值

測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值。

5）示值

由測(cè)量器具指示的被測(cè)量量值稱為測(cè)量器具的示值，也稱測(cè)量器具的測(cè)得值或測(cè)量值，它包括數(shù)值和單位。6）測(cè)量誤差

測(cè)量?jī)x器的測(cè)得值與被測(cè)量真值之間的差異，稱為測(cè)量誤差。

7）單次測(cè)量和多次測(cè)量4）標(biāo)稱值598）等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量等精度測(cè)量:在保持測(cè)量條件不變的情況下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次測(cè)量過程稱作等精度測(cè)量。非等精度測(cè)量:如果在同一被測(cè)量的多次重復(fù)測(cè)量中，不是所有測(cè)量條件都維持不變(比如，改變了測(cè)量方法，或更換了測(cè)量?jī)x器，或改變了聯(lián)接方式，或測(cè)量環(huán)境發(fā)生了變化，或前后不是一個(gè)操作者，或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等)，這樣的測(cè)量稱為非等精度測(cè)量或不等精度測(cè)量。8）等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量602.誤差的表示方法1）絕對(duì)誤差:

絕對(duì)誤差定義為

△x=x-A0

式中：△x為絕對(duì)誤差，x為測(cè)得值，A0為被測(cè)量真值。2）相對(duì)誤差實(shí)際相對(duì)誤差示值相對(duì)誤差2.誤差的表示方法61滿度（或引用）相對(duì)誤差:（通常用于表達(dá)精度）

滿度相對(duì)誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對(duì)誤差與儀器滿度值（量程上限值）的百分比值滿度（或引用）相對(duì)誤差:（通常用于表達(dá)精度）622.2測(cè)量誤差的來(lái)源1.儀器誤差

又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使測(cè)量?jī)x器設(shè)備帶有的誤差。

2．人身誤差人身誤差主要指由于測(cè)量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等而對(duì)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。2.2測(cè)量誤差的來(lái)源1.儀器誤差633．影響誤差

影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。4．方法誤差

方法誤差是所使用的測(cè)量方法不當(dāng)，或?qū)y(cè)量設(shè)備操作使用不當(dāng)，或測(cè)量所依據(jù)的理論不嚴(yán)格，或?qū)y(cè)量計(jì)算公式不適當(dāng)簡(jiǎn)化等原因而造成的誤差，方法誤差也稱作理論誤差。3．影響誤差642.3誤差的分類1.系統(tǒng)誤差

在多次等精度測(cè)量同一恒定量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)按某種規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。

2.隨機(jī)誤差：

隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對(duì)同一恒定量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)無(wú)規(guī)則變化的誤差。3.粗大誤差：在一定的測(cè)量條件下，測(cè)得值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡(jiǎn)稱粗差。2.3誤差的分類1.系統(tǒng)誤差65N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有隨機(jī)誤差累進(jìn)系統(tǒng)誤差恒定系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有隨機(jī)誤差66

1.隨機(jī)誤差（偶然誤差）的定義

是指在相同條件下，對(duì)同一恒定量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)無(wú)規(guī)則變化的誤差。

就單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，則服從正態(tài)分布規(guī)律，隨機(jī)誤差的特點(diǎn)為對(duì)稱性、有界性、單峰性、抵償性。f()2.4隨機(jī)誤差分析f()2.4隨機(jī)誤差分析67問題

測(cè)量總是存在誤差，而且誤差究竟等于多少難以確定，那么，從測(cè)量值如何得到真實(shí)值呢？

例如：測(cè)量室溫，6次測(cè)量結(jié)果分別為19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃,19.5℃,那么室溫究竟是多少呢？

X=A±，(置信概率為p)x的真值落在[A-，A+]區(qū)間內(nèi)的概率為p

A和如何確定呢？問題測(cè)量總是存在誤差，而且誤差究竟等于多少難以確定，那682.測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1）數(shù)學(xué)期望

對(duì)被測(cè)量x進(jìn)行等精度n次測(cè)量，得到n個(gè)測(cè)量值x1，x2，x3，…，xn。則n個(gè)測(cè)得值的算術(shù)平均值為：2.測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差1）數(shù)學(xué)期望69數(shù)學(xué)期望引例1分賭本問題（17世紀(jì)著名概率問題）A，B兩人賭技相同，各出賭金100元，并約定先勝三局者，取得全部200元。由于出現(xiàn)意外情況，在A勝2局B勝1局時(shí)，不得不終止賭博，如果要分賭金，該如何分配才算公平？數(shù)學(xué)期望70分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局，則結(jié)果有以下四種情況：AAAB

BABBA勝B負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)前三局A勝2局B勝1局，與上述結(jié)果相結(jié)合。即A,B賭完5局，

前三局：A勝2局B勝1局后二局：AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局，則結(jié)果有以下四種情況：71在賭技相同的情況下，A,B最終獲得勝利的可能性大小之比為3:1即A應(yīng)獲得賭金的3/4，B獲得賭金的1/4故，A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)該為：

200×3/4+0×1/4=150元B能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)該為：200×1/4+0×3/4=50元在賭技相同的情況下，A,B最終獲得勝利的可能性大小之比為3:72

當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，樣本平均值的極限定義為測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望。當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量的真值。分析：當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，樣本平均值的極限73根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償特性，當(dāng)時(shí)=0，即所以，當(dāng)測(cè)量次數(shù)時(shí)，測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望等于被測(cè)量的真值。根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償特性，當(dāng)742)剩余誤差（殘差）

當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，測(cè)得值與算術(shù)平均值之差。數(shù)學(xué)表達(dá)式：對(duì)上式兩邊求和得：所以可得剩余誤差得代數(shù)和為0。2)剩余誤差（殘差）當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，測(cè)得值與算術(shù)平均754)標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差，均方根誤差）

σ反映了測(cè)量的精密度，σ小表示精密度高，測(cè)得值集中，σ大，表示精密度底，測(cè)得值分散。3)方差4)標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差，均方根誤差）σ反映了測(cè)量的精密度，σ小76δf(δ)3.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布分析正態(tài)分布高斯于1809年推導(dǎo)出描述隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)特性的解析方程式，稱高斯分布規(guī)律。隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差曲線下面的面積對(duì)應(yīng)誤差在不同區(qū)間出現(xiàn)的概率。δf(δ)3.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布分析正態(tài)分布隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差77例如：δf(δ)δf(δ)78從正態(tài)分布曲線可看出：

①δ絕對(duì)值越小，愈大，說明絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大。②大小相等符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等。δf(δ)從正態(tài)分布曲線可看出：δf(δ)79③σ愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，σ愈大，正態(tài)分布曲線愈平緩。說明σ反映了測(cè)量的精密度。σ=1σ=2③σ愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，σ愈大，正態(tài)分布曲線愈平緩。說804.隨機(jī)誤差表達(dá)式1）剩余誤差的表達(dá)形式2）最大絕對(duì)誤差表達(dá)形式3）標(biāo)準(zhǔn)偏差的表達(dá)形式

4）算術(shù)平均誤差表達(dá)形式4.隨機(jī)誤差表達(dá)式81

5)或然誤差表達(dá)形式

6)極限誤差Δ

從上式可見，隨機(jī)誤差絕對(duì)值大于3σ的概率很小，只有0.3%，出現(xiàn)的可能性很小。因此定義：假如絕對(duì)誤差不在極限誤差范圍內(nèi)，認(rèn)定為粗差。

5)或然誤差表達(dá)形式

6)極限誤差Δ從上式可見，隨機(jī)82隨機(jī)誤差的特點(diǎn)單峰性誤差絕對(duì)值越小，出現(xiàn)密度越大，誤差絕對(duì)值越大，出現(xiàn)密度越小對(duì)稱性絕對(duì)值相同，符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等抵償性當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，誤差總和為零有界性誤差落[-3,3]的概率為0.9973

3也稱為極限誤差或者誤差限隨機(jī)誤差的特點(diǎn)單峰性誤差絕對(duì)值越小，出現(xiàn)密度越大，誤差絕對(duì)835.標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算采用殘差代替隨機(jī)誤差有限次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計(jì)值（近似標(biāo)準(zhǔn)誤差）標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差，均方根誤差）：貝塞爾公式5.標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算采用殘差代替隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤差，均方846.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差1）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差2）平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計(jì)值（近似平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差）6.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差857.有限次測(cè)量下測(cè)量結(jié)果表達(dá)式步驟：1）列出測(cè)量數(shù)據(jù)表；2）計(jì)算算術(shù)平均值、、；3）計(jì)算和；置信概率0.9973

4）給出最終測(cè)量結(jié)果表達(dá)式：7.有限次測(cè)量下測(cè)量結(jié)果表達(dá)式2）計(jì)算算術(shù)平均值862.5系統(tǒng)誤差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累進(jìn)系統(tǒng)誤差恒定系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差1.分類：恒定系統(tǒng)誤差

變化系統(tǒng)誤差2.5系統(tǒng)誤差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累872.系統(tǒng)誤差的判斷1)理論分析法：可通過對(duì)測(cè)量方法的定性分析發(fā)現(xiàn)測(cè)量方法或測(cè)量原理引入的系統(tǒng)誤差。2)校準(zhǔn)和比對(duì)法：測(cè)量?jī)x器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定書中給出修正值。3)改變測(cè)量條件法：根據(jù)在不同的測(cè)量條件下測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，可能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。4)剩余誤差觀察法：根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)列剩余誤差的大小及符號(hào)變化規(guī)律可判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差及誤差類型，這種方法不能發(fā)現(xiàn)定值系統(tǒng)誤差。2.系統(tǒng)誤差的判斷883．消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源要減少系統(tǒng)誤差要注意以下幾個(gè)方面：1)采用的測(cè)量方法及原理正確。2)選用的儀器儀表的類型正確，準(zhǔn)確度滿足要求。3)測(cè)量?jī)x器應(yīng)定期校準(zhǔn)、檢定，測(cè)量前要調(diào)零，應(yīng)按照操作規(guī)程正確使用儀器。對(duì)于精密測(cè)量必要時(shí)要采取穩(wěn)壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。4)條件許可，盡量采用數(shù)顯儀器。5)提高操作人員的操作水平及技能。3．消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源894.削弱系統(tǒng)誤差的方法1)零示法:4.削弱系統(tǒng)誤差的方法902)替代法（置換法）：

在測(cè)量條件不變的情況下，用一標(biāo)準(zhǔn)已知量替代待測(cè)量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使儀器示值不變，于是標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測(cè)量。這兩種方法主要用來(lái)消除定值系統(tǒng)誤差。2)替代法（置換法）：913)利用修正值或修正因數(shù)加以消除。4)隨機(jī)化處理5)智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除直流零位校準(zhǔn)。自動(dòng)校準(zhǔn)。3)利用修正值或修正因數(shù)加以消除。922.7誤差的合成誤差合成：由多個(gè)不同類型的單項(xiàng)誤差求測(cè)量中的總誤差是誤差合成問題。1、隨機(jī)誤差合成

若測(cè)量結(jié)果中有k個(gè)彼此獨(dú)立的隨機(jī)誤差，各個(gè)隨機(jī)誤差互不相關(guān)，各個(gè)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)方差分別為σ1、σ2、σ3、…、σk則隨機(jī)誤差合成的總標(biāo)準(zhǔn)差σ為：2.7誤差的合成誤差合成：由多個(gè)不同類型的單項(xiàng)誤差求測(cè)93若以極限誤差表示，則合成的極限誤差為：當(dāng)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，對(duì)應(yīng)的極限誤差。

若以極限誤差表示，則合成的極限誤差為：當(dāng)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分942、系統(tǒng)誤差的合成1）確定的系統(tǒng)誤差的合成又稱已定系統(tǒng)誤差，是指測(cè)量誤差的大小、方向和變化規(guī)律是可以掌握的。只要是已定的系統(tǒng)誤差，都應(yīng)當(dāng)用代數(shù)的方法計(jì)算其合成誤差。表達(dá)式：

由于所得結(jié)果是明確大小和方向的數(shù)值，故可直接在測(cè)量結(jié)果中修正，在一般情況下最后測(cè)量結(jié)果不應(yīng)含有已定系統(tǒng)誤差的內(nèi)容。2、系統(tǒng)誤差的合成由于所得結(jié)果是明確大小和方向的數(shù)值，952）不確定系統(tǒng)誤差的合成又稱未定系統(tǒng)誤差，指測(cè)量誤差既具有系統(tǒng)誤差可知的一面，又具有不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)誤差一面。在通常情況下，未定系統(tǒng)誤差多以極限誤差的形式給出誤差的最大變化范圍。絕對(duì)值合成法：

當(dāng)m大于10時(shí)，合成誤差估計(jì)值往往偏大。一般應(yīng)用于m小于10。表達(dá)式：2）不確定系統(tǒng)誤差的合成又稱未定系統(tǒng)誤差，指測(cè)量誤差96方和根合成法一般