學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.1.2演繹推理學習目標1.理解演繹推理的意義。2.掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．知識點一演繹推理的含義思考分析下面幾個推理,找出它們的共同點．（1)所有的金屬都能導電,鈾是金屬，所以鈾能夠導電；（2）一切奇數都不能被2整除，(2100＋1）是奇數,所以（2100＋1)不能被2整除．答案都是由真命題，按照一定的邏輯規則推出正確的結論．梳理演繹推理的含義(1）定義：由概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規則得到正確結論的過程，通常叫做演繹推理．(2）特征：當前提為真時，結論必然為真．知識點二演繹推理規則思考所有的金屬都能導電,銅是金屬，所以銅能導電,這個推理可以分為幾段？每一段分別是什么?答案分為三段．大前提：所有的金屬都能導電；小前提：銅是金屬;結論：銅能導電．梳理演繹推理的規則一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結論根據一般原理，對特殊情況做出的判斷所以，S是P1．演繹推理的結論一定正確．(×）2．在演繹推理中，大前提描述的是一般性原理,小前提描述的是大前提里的特殊情況，結論是根據一般性原理對特殊情況做出的判斷．(√）3．大前提和小前提都正確,推理形式也正確，則所得結論是正確的．(√)類型一三種演繹推理的形式例1選擇合適的演繹推理規則寫出下列推理過程．(1)函數y＝sinx（x∈R)是周期函數；（2)當k〉1時，eq\r（k）－eq\r(k－1）>eq\r(k＋1)－eq\r(k)；(3)若n∈Z，求證n2－n為偶數．解(1)三段論推理:三角函數是周期函數,大前提y＝sinx(x∈R）是三角函數，小前提∴y＝sinx(x∈R）是周期函數．結論（2）傳遞性關系推理：當k〉1時，eq\r（k)－eq\r(k－1）＝eq\f(1，\r（k）＋\r（k－1))〉eq\f(1，2\r(k)）>eq\f(1，\r(k）＋\r(k＋1）)＝eq\r（k＋1)－eq\r(k）.(3）完全歸納推理:∵n2－n＝n（n－1)，∴當n為偶數時，n2－n為偶數，當n為奇數時，n－1為偶數，n2－n為偶數,∴當n∈Z時，n2－n為偶數．反思與感悟對于某一問題的證明中選擇哪一種推理規則有時是不唯一的，在證明等量關系、不等關系(放縮法）或立體幾何中的平行關系時，常選用傳遞性關系推理;在涉及含參變量的證明題，需要分類討論時，常選用完全歸納推理；根據定理證題,往往用三段論推理．跟蹤訓練1選擇合適的推理規則寫出下列推理過程．（1)75是奇數；(2）平面α，β,已知直線l∥α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m。解(1)三段論推理：一切奇數都不能被2整除．大前提75不能被2整除．小前提75是奇數．結論(2)傳遞性關系推理：如圖,在平面α內任取一點P(P?m)，∵l∥α,∴P?l,則l與點P確定一平面與α相交，設交線為a,則a∥l，同理,在β內任取一點Q(Q?m），l與點Q確定一平面與β交于b，則l∥b，從而a∥b。由P∈a，P?m，∴a?β，而b?β，∴a∥β.又a?α,α∩β＝m，∴a∥m,∴l∥m。類型二三段論的應用eq\x(命題角度1用三段論證明幾何問題）例2如圖，D,E，F分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證:ED＝AF,寫出三段論形式的演繹推理．證明因為同位角相等，兩直線平行，大前提∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A,小前提所以FD∥AE。結論因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提DE∥BA,且FD∥AE，小前提所以四邊形AFDE為平行四邊形．結論因為平行四邊形的對邊相等，大前提ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊，小前提所以ED＝AF。結論反思與感悟(1）用“三段論”證明命題的格式××××××大前提××××××小前提××××××結論(2）用“三段論”證明命題的步驟①理清證明命題的一般思路．②找出每一個結論得出的原因．③把每個結論的推出過程用“三段論”表示出來．跟蹤訓練2已知：在空間四邊形ABCD中，點E，F分別是AB，AD的中點，如圖所示,求證：EF∥平面BCD。證明因為三角形的中位線平行于底邊，大前提點E,F分別是AB，AD的中點，小前提所以EF∥BD.結論若平面外一條直線平行于平面內一條直線,則直線與此平面平行,大前提EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD。結論eq\x（命題角度2用三段論解決代數問題)例3設函數f(x）＝eq\f(ex，x2＋ax＋a)，其中a為實數，若f(x）的定義域為R，求實數a的取值范圍．解若函數的定義域為R，則函數對任意實數恒有意義,大前提因為f（x）的定義域為R，小前提所以x2＋ax＋a≠0恒成立，結論所以Δ＝a2－4a〈0,所以0〈a<4.即當0〈a<4時,f（x）的定義域為R。引申探究若本例的條件不變，求f(x)的單調增區間．解∵f′(x）＝eq\f（xx＋a－2ex,x2＋ax＋a2),由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a。∵0〈a<4，∴當0〈a〈2時,2－a〉0。∴在（－∞，0）和(2－a，＋∞)上,f′（x)〉0。∴f(x)的單調增區間為（－∞，0)，（2－a，＋∞）．當a＝2時，f′(x）≥0恒成立，∴f(x）的單調增區間為（－∞，＋∞)．當2〈a<4時，2－a〈0，∴在（－∞，2－a)和(0，＋∞）上，f′(x）>0,∴f（x)的單調增區間為(－∞,2－a），(0，＋∞)．綜上所述，當0〈a〈2時，f（x）的單調增區間為(－∞，0),(2－a，＋∞);當a＝2時，f（x)的單調增區間為（－∞，＋∞）；當2<a〈4時，f（x）的單調增區間為（－∞，2－a)，（0，＋∞）．反思與感悟（1）很多代數問題不論是解答題，還是證明題都蘊含著演繹推理．(2)在解題過程中常省略大前提．跟蹤訓練3已知函數f(x)＝ax＋eq\f(x－2，x＋1）(a>1），證明：函數f（x)在（－1，＋∞）上為增函數．證明f（x）＝ax＋eq\f（x＋1－3,x＋1）＝ax＋1－eq\f（3,x＋1).所以f′（x）＝axlna＋eq\f（3,x＋12）。因為x>－1，所以（x＋1）2>0，所以eq\f（3，x＋12）〉0.又a>1，所以lna>0，ax〉0，所以axlna>0，所以f′（x)>0.于是，f（x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)在(－1，＋∞）上是增函數。1．下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內角互補,如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角，則∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數超過50人C．由平面三角形的性質，推測空間四邊形的性質D．在數列｛an}中，a1＝1,an＝eq\f（1,2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)））（n≥2），由此歸納出｛an}的通項公式答案A解析A是演繹推理，B，D是歸納推理，C是類比推理．2．指數函數y＝ax(a>1）是R上的增函數，y＝2|x|是指數函數,所以y＝2｜x|是R上的增函數．以上推理(）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．正確考點“三段論”及其應用題點小前提或推理形式錯誤導致結論錯誤答案B解析此推理形式正確,但是,函數y＝2｜x｜不是指數函數，所以小前提錯誤,故選B。3．三段論：“①只有船準時起航，才能準時到達目的港，②這艘船是準時到達目的港的，③這艘船是準時起航的"，其中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③答案D4．把“函數y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線”恢復成三段論,則大前提:___________；小前提：______________________________________；結論：__________________________________________。答案二次函數的圖象是一條拋物線函數y＝x2＋x＋1是二次函數函數y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線5．設m為實數，利用三段論證明方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個相異實根．證明因為如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)的判別式Δ＝b2－4ac〉0,那么方程有兩個相異實根，大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判別式Δ＝（－2m)2－4(m－1）＝4m2－4m＋4＝（2m－1）2＋3〉0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有兩個相異實根．結論1．應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略．2．合情推理是由部分到整體,由個別到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理與演繹推理是相輔相成的，數學結論、證明思路等的發現主要靠合情推理；數學結論、猜想的正確性必須通過演繹推理來證明.一、選擇題1．《論語·學路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中,則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足．”上述推理用的是(）A．類比推理 B．歸納推理C．演繹推理 D．一次三段論答案C2．下列表述正確的是()①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理;④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案D解析根據歸納推理，演繹推理，類比推理的概念特征可以知道①③⑤正確．3．命題“有些有理數是無限循環小數，整數是有理數，所以整數是無限循環小數”是假命題，推理錯誤的原因是（)A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但推理形式錯誤D．使用了“三段論”，但小前提錯誤答案C解析由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯誤原因是推理形式錯誤．4．“所有9的倍數(M)都是3的倍數(P）,某奇數（S）是9的倍數（M)，故某奇數(S）是3的倍數(P）．”上述推理是()A．小前提錯 B．結論錯C．正確的 D．大前提錯答案C解析由三段論推理概念知推理正確．5．在證明f(x）＝2x＋1為增函數的過程中，有下列四個命題：①增函數的定義是大前提；②增函數的定義是小前提；③函數f(x）＝2x＋1滿足增函數的定義是大前提；④函數f(x）＝2x＋1滿足增函數的定義是小前提．其中正確的命題是(）A．①④ B．②④C．①③ D．②③考點“三段論"及其應用題點三段論的結構答案A解析根據三段論特點,過程應為：大前提是增函數的定義；小前提是f(x）＝2x＋1滿足增函數的定義；結論是f(x）＝2x＋1為增函數，故①④正確．6．下面幾種推理中是演繹推理的是(）A．因為y＝2x是指數函數,所以函數y＝2x經過定點（0，1）B．猜想數列eq\f（1，1×2)，eq\f（1，2×3)，eq\f(1，3×4),…的通項公式為an＝eq\f（1,nn＋1）（n∈N＋)C．由圓x2＋y2＝r2的面積為πr2,猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2）＝1的面積為πabD．由平面直角坐標系中圓的方程為（x－a）2＋(y－b）2＝r2，推測空間直角坐標系中，球的方程為（x－a)2＋（y－b）2＋(z－c)2＝r2答案A7．自主招生聯盟成形于2009年清華大學等五校聯考，主要包括“北約”聯盟，“華約”聯盟,“卓越"聯盟和“京派”聯盟．在調查某高中學校高三學生自主招生報考的情況時,得到如下結果：a．報考“北約”聯盟的學生都沒報考“華約”聯盟;b．報考“華約”聯盟的學生也報考了“京派”聯盟；c．報考“卓越”聯盟的學生都沒報考“京派”聯盟；d．不報考“卓越”聯盟的學生就報考“華約"聯盟．根據上述調查結果，下列結論錯誤的是（）A．沒有同時報考“華約”和“卓越”聯盟的學生B．報考“華約”和“京派”聯盟的學生一樣多C．報考“北約”聯盟的學生也報考了“卓越"聯盟D．報考“京派”聯盟的學生也報考了“北約”聯盟答案D解析令集合U表示調查的全體學生．集合E表示報考“北約”聯盟的學生，集合F表示報考“華約”聯盟的學生，集合G表示報考“京派”聯盟的學生，集合H表示報考“卓越"聯盟的學生,由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(E∩F＝?，,F?G，，H∩G＝?，,?UH＝F。))A中，F∩H＝?，結論正確；B中,F＝G，結論正確;C中,E?H，結論正確．8．在R上定義運算?:x?y＝x(1－y)．若不等式（x－a）?（x＋a）〈1對任意實數x都成立，則（)A．－1〈a<1 B．0〈a〈2C．－eq\f(1，2)〈a〈eq\f(3,2) D．－eq\f（3，2）〈a<eq\f(1,2)答案C解析由題意知，（x－a）?（x＋a）＝(x－a）[1－(x＋a）]＝－x2＋x＋a2－a，∴－x2＋x＋a2－a<1,即x2－x－a2＋a＋1>0對任意實數x都成立，則Δ＝1－4(－a2＋a＋1）<0，∴4a2－4a－3<0，解得－eq\f(1,2)〈a<eq\f（3，2）。二、填空題9．在求函數y＝eq\r(log2x－2)的定義域時，第一步推理中大前提是當eq\r(a）有意義時，a≥0；小前提是eq\r（log2x－2）有意義；結論是________________________________________．答案y＝eq\r(log2x－2）的定義域是[4，＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4。10．有一段演繹推理:大前提：整數是自然數;小前提：－3是整數；結論：－3是自然數．這個推理顯然錯誤，則錯誤的原因是__________錯誤．(填“大前提”“小前提”“結論”)答案大前提11．銳角三角形的面積等于底乘高的一半；直角三角形的面積等于底乘高的一半；鈍角三角形的面積等于底乘高的一半，所以所有三角形的面積都等于底乘高的一半，以上推理運用的推理規則是________．答案完全歸納推理解析“鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形”這一分類方法包含了所有的三角形，若這三類三角形的面積都等于底乘高的一半，就是所有的三角形的面積都等于底乘高的一半，故其推理規則為完全歸納推理．12．若f(a＋b)＝f（a）f(b）(a，b∈N＋),且f（1)＝2，則eq\f（f2,f1）＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2018,f2017）＝________。答案2018解析利用三段論．∵f(a＋b)＝f(a）f（b）（a，b∈N＋），大前提令b＝1，則eq\f(fa＋1，fa）＝f（1)＝2，小前提∴eq\f(f2，f1)＝eq\f(f4，f3）＝…＝eq\f(f2018,f2017)＝2,結論∴原式＝＝2018。

三、解答題13．如圖所示，在銳角三角形ABC中,AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足,用三段論形式證明AB的中點M到D,E的距離相等．證明有一個內角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD中,AD⊥BD,即∠ADB＝90°，小前提所以△ABD是直角三角形．結論同理，△AEB也是直角三角形．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，大前提因為DM是Rt△ABD斜邊上的中線，小前提所以DM＝eq\f(1，2）AB.結論同理，EM＝eq\f（1，2）AB。等于同一個量的兩個量相等，大前提DM和EM都等于eq\f（1，2)AB,小前提所以DM＝EM，即AB的中點M到D,E的距離相等．結論四、探究與拓展14．對于平面上的點集Ω,如果連接Ω中任意兩點的線段必定包含于Ω，則稱Ω為平面上的凸集，給出平面上