背景

隨著人類文明的不斷發展，衛生設施的改善和醫療水平的提高，以前曾經肆虐全球的一些傳染性疾病已經得到了有效的控制，但是，伴隨著經濟的增長，一些新的傳染性疾病，如2003年時曾給世界人民帶來深重災難的SARS病毒和如今依然在世界范圍蔓延的艾滋病毒，仍在危害著全人類的健康.長期以來，建立傳染病模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數的變化規律，預報傳染病高潮的到來等，一直是各國專家學者關注的課題.傳染病模型背景隨著人類文明的不斷發展，衛生設施的改善和醫11、問題的提出描述傳染病的傳播過程分析受感染人數的變化規律預報傳染病高潮到來的時刻預防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型1、問題的提出描述傳染病的傳播過程2已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為分析假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以3

4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設條件

SI模型有下面兩個假設條件：

(1)人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類(取兩個單詞的第一個字母，稱之為SI模型).以下簡稱為健康者和病人，t時刻這兩類人在總人數中所占的比例分別記作s(t)和i(t).

(2)每個病人每天有效接觸的平均人數是常數λ，λ稱為日接觸率，當病人與健康者有效接觸時，使健康者受感染變為病人.4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設條件

S4

2.模型的建立與求解

根據假設，總人數為N，每個病人每天可使λs(t)個健康者變為病人，因為病人人數為Ni(t)，所以每天共有λNs(t)i(t)個健康者被感染，于是λNs(t)i(t)就是病人數Ni(t)的增加率，即有

(4.1)

又因為

s(t)＋i(t)＝1 (4.2)2.模型的建立與求解

5再記初始時刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

(4.3)

方程(4.3)是Logistic模型，它的解為

(4.4)

i(t)~t和

的圖形如圖4-1所示.再記初始時刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

6

圖4-1圖4-17

3.模型的分析討論

由式(4.3)、(4.4)及圖4-1可知:

(1)當

時，

達到最大值

，這個時刻為

(4.5)

這時病人人數增加得最快，預示著傳染病高潮的到來，是醫療衛生部門關注的時刻.tm與λ成反比，因為日接觸率λ表示該地區的衛生水平，λ越小衛生水平越高，所以改善保健設施，提高衛生水平可以推遲傳染病高潮的到來.3.模型的分析討論

由式(4.3)、(4.4)及圖48(2)當t→∞時，i→1，即所有人終將被感染，全變為病人，這顯然不符合實際情況，其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈.

為了修正上述結果必須重新考慮模型的假設.下面兩個模型中我們討論病人可以治愈的情況.(2)當t→∞時，i→1，即所有人終將被感染，全變為病人94.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變為健康者，健康者還可以再被感染變為病人，我們就這種情況建立的模型稱為SIS模型.

4.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風、痢疾等愈10

1.模型的假設

SIS模型的假設條件(1)、(2)與SI模型的假設相同，增加的條件(即條件(3))為:

(3)病人每天被治愈的占病人總數的比例為μ，稱為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者，則 是這種傳染病的平均傳染期.1.模型的假設

SIS模型的假設條件(1)、(2)與11

2.模型的建立與求解

考慮到假設(3)，SI模型的式(4.1)應修正為：

(4.6)

式(4.2)不變，于是式(4.3)應改為：

(4.7)

2.模型的建立與求解

考慮到假設(3)，SI模型的式12方程(4.7)的解可表示為：

(4.8)

方程(4.7)的解可表示為：

(133.模型的分析討論

定義

(4.9)

注意到λ和 的含義可知，σ是一個傳染期內每個病人的有效接觸的平均人數，稱接觸數，由式(4.8)和(4.9)容易得到，當t→∞時，

(4.10)

3.模型的分析討論

定義

(414根據式(4.8)~(4.10)可以畫出i(t)~t的圖形如圖4-2所示.

接觸數σ＝1是一個閾值，當σ≤1時病人比例i(t)越來越小，最終趨于零，這是由于傳染期內經有效接觸從而使健康者變為病人的人數不超過原來病人人數的緣故；當σ>1時，i(t)的增減性取決于i(0)的大小，但其極限值i(∞)＝1－1σ隨σ的增加而增加.

SI模型可視為本模型的特例.根據式(4.8)~(4.10)可以畫出i(t)~t的15

圖4-2圖4-2164.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設

大多數傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他們已經退出傳染系統.這種情況下的模型假設條件為：

(1)人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三種，稱SIR模型.三類人在總人數N中所占的比例分別為s(t)、i(t)和r(t)；

(2)病人的日接觸率為λ，日治愈率為μ，σ＝λ/μ.

4.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設

大多數17

2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(t)＋i(t)＋r(t)＝1 (4.11)

根據條件(2)，方程(4.6)仍成立.對于病愈免疫的移出者而言，應有

(4.12)

再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0(>0)和i0(>0)(不妨設移出者的初始值r0＝0)，則由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以寫為：2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(18

(4.13)

方程(4.13)無法求出s(t)和i(t)的解析解，我們轉到相平面s~i上來討論解的性質.相軌線的定義域(s，i)∈D應為：

D＝{(s，i)|s≥0，i≥0，s＋i≤1} (4.14)

(4.13)

方程(4.19在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得

(4.15)

容易求出方程(4.15)的解為：

(4.16)

則在定義域D內，相軌線如圖4-3所示.圖中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向.在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得

20

圖4-3圖4-3213.模型的分析討論

下面根據式(4.13)、(4.16)和圖4-3分析t→∞時s(t)、i(t)和r(t)的變化情況(它們的極限值分別記作s∞，i∞和r∞).

(1)首先，由式(5.4.13)，

，而s(t)≥0，故s∞存在；由式(5.4.12)知，

，而r(t)≤1，故r∞存在；再由式(5.4.11)知i∞存在.

3.模型的分析討論

下面根據式(4.13)、(4.16)22其次，若i∞＝ε>0，則由式(4.12)，對于充分大的t，有

，這將導致r∞＝∞，與r∞存在相矛盾.故不論初始條件s0，i0如何，病人終將消失，即

i∞＝0 (4.17)

從圖4-3上看，不論相軌線從p1或從p2出發，它終將與s軸相交.其次，若i∞＝ε>0，則由式(4.12)，對于充分大的t23(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(4.16)中令i＝0，得到s∞是方程

(4.18)

在 內的單根，在圖4-3中s∞是相軌線

與s軸在內交點的橫坐標.

(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(4.16)中24(3)若

，則i(t)先增加，當

時，i(t)達到最大值

然后i(t)減小且趨于零，s(t)則單調減小至s∞.

(3)若 ，則i(t)先增加，當 時，i(t)達到最25

(4)若

，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調減小至s∞.

可以看出，如果僅當病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延，那么 是一個閾值，當

時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數σ，即提高閾值，使得

，傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可認為s0≈1)，我們注意到在

中，人們的衛生水平越高，日接觸率λ越小，醫療水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高衛生水平和醫療水平有助于控制傳染病的蔓延.(4)若 ，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調減小26從另一方面看，

是傳染期內一個病人傳染的健康者的平均數，稱為交換數，其含義是一個病人被σs個健康者交換.所以當

，即σs0≤1時，必有σs≤1.既然交換數不超過1，病人比例i(t)絕不會增加，傳染病就不會蔓延.

從另一方面看， 是傳染期內一個病人傳染的健康者的平均數27我們看到在SIR模型中接觸數σ是一個重要參數.σ可以由實際數據估計，因為病人比例的初始值i0通常很小，在式(4.18)中略去i0可得

(4.19)

于是當傳染病結束而獲得s0和s∞以后，由式(4.19)能算出σ.另外，對血樣作免疫檢驗也可以根據對檢驗無反應和有反應，估計出s0和s∞，然后計算σ.我們看到在SIR模型中接觸數σ是一個重要參數.σ可以由實28

4.模型驗證

本世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了.死亡相當于移出傳染系統，有關部門記錄了每天移出者的人數，依此實際數據，Kermack等人用這組數據對SIR模型作了驗證.

首先，由方程(4.11)、(4.13)可以得到

(4.20)

(4.21)4.模型驗證

本世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫中幾乎29當

時，取式(4.21)右端e－σr泰勒展開的前3項，在初始值r0＝0下的解為：

(4.22)

其中

.從式(4.22)容易算出

當 時，取式(4.21)右端e－σr泰勒展開的前3項，30

(4.23)

然后取定參數s0、σ等，畫出式(4.23)的圖形，如圖4-4中的曲線，實際數據在圖中用圓點表示.可以看出，理論曲線與實際數據吻合得相當不錯.

(4.23)

然后取定參數s0、31

圖4-4圖4-432

5.SIR模型的應用

下面介紹SIR模型的兩個應用.

1)被傳染比例的估計

在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數的比例是健康者人數比例的初始值s0與t→∞的極限值s∞之差，記作x，假定i0很小，s0接近于1，由式(4.18)可得

(4.24)

5.SIR模型的應用

下面介紹SIR模型的兩個應用.33取對數函數泰勒展開的前兩項有

(4.25)

記

，δ可視為該地區人口比例超過閾值 的部分.當

時式(4.25)給出

(4.26)取對數函數泰勒展開的前兩項有

(4.2534這個結果表明，被傳染人數比例約為δ的2倍.對一種傳染病，當該地區的醫療和衛生水平不變，即σ不變時，這個比例就不會改變.而當閾值 提高時，δ減小，于是這個比例就會降低.這個結果表明，被傳染人數比例約為δ的2倍.對一種傳染352)群體免疫和預防

根據對SIR模型的分析，當

時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延，除了提高衛生和醫療水平，使閾值變大以外，另一個途徑是降低s0，這可以通過如預防接種使群體免疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值i0，有s0＝1－r0，于是傳染病不會蔓延的條件

可以表示為:

(4.27)2)群體免疫和預防

根據對SIR模型的分析，當 時36這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例(即免疫者比例)r0滿足式(4.27)，就可以制止傳染病的蔓延.

這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的，據估計在印度等國天花傳染病的接觸數σ≈5，由式(4.27)知至少要有4/5的人接受免疫才行.據世界衛生組織報告，即使花費大量資金提高r0，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除.而有些傳染病的σ更高，根除就更加困難.這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例(即免疫37此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！此課件下載可自行編輯修改，供參考！38背景

隨著人類文明的不斷發展，衛生設施的改善和醫療水平的提高，以前曾經肆虐全球的一些傳染性疾病已經得到了有效的控制，但是，伴隨著經濟的增長，一些新的傳染性疾病，如2003年時曾給世界人民帶來深重災難的SARS病毒和如今依然在世界范圍蔓延的艾滋病毒，仍在危害著全人類的健康.長期以來，建立傳染病模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數的變化規律，預報傳染病高潮的到來等，一直是各國專家學者關注的課題.傳染病模型背景隨著人類文明的不斷發展，衛生設施的改善和醫391、問題的提出描述傳染病的傳播過程分析受感染人數的變化規律預報傳染病高潮到來的時刻預防傳染病蔓延的手段按照傳播過程的一般規律，用機理分析方法建立模型1、問題的提出描述傳染病的傳播過程40已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數為分析假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人數(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以41

4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設條件

SI模型有下面兩個假設條件：

(1)人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類(取兩個單詞的第一個字母，稱之為SI模型).以下簡稱為健康者和病人，t時刻這兩類人在總人數中所占的比例分別記作s(t)和i(t).

(2)每個病人每天有效接觸的平均人數是常數λ，λ稱為日接觸率，當病人與健康者有效接觸時，使健康者受感染變為病人.4.1模型Ⅰ——SI模型

1.模型的假設條件

S42

2.模型的建立與求解

根據假設，總人數為N，每個病人每天可使λs(t)個健康者變為病人，因為病人人數為Ni(t)，所以每天共有λNs(t)i(t)個健康者被感染，于是λNs(t)i(t)就是病人數Ni(t)的增加率，即有

(4.1)

又因為

s(t)＋i(t)＝1 (4.2)2.模型的建立與求解

43再記初始時刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

(4.3)

方程(4.3)是Logistic模型，它的解為

(4.4)

i(t)~t和

的圖形如圖4-1所示.再記初始時刻(t＝0)病人的比例為i0，則有

44

圖4-1圖4-145

3.模型的分析討論

由式(4.3)、(4.4)及圖4-1可知:

(1)當

時，

達到最大值

，這個時刻為

(4.5)

這時病人人數增加得最快，預示著傳染病高潮的到來，是醫療衛生部門關注的時刻.tm與λ成反比，因為日接觸率λ表示該地區的衛生水平，λ越小衛生水平越高，所以改善保健設施，提高衛生水平可以推遲傳染病高潮的到來.3.模型的分析討論

由式(4.3)、(4.4)及圖446(2)當t→∞時，i→1，即所有人終將被感染，全變為病人，這顯然不符合實際情況，其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈.

為了修正上述結果必須重新考慮模型的假設.下面兩個模型中我們討論病人可以治愈的情況.(2)當t→∞時，i→1，即所有人終將被感染，全變為病人474.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變為健康者，健康者還可以再被感染變為病人，我們就這種情況建立的模型稱為SIS模型.

4.2模型Ⅱ——SIS模型

有些傳染病如傷風、痢疾等愈48

1.模型的假設

SIS模型的假設條件(1)、(2)與SI模型的假設相同，增加的條件(即條件(3))為:

(3)病人每天被治愈的占病人總數的比例為μ，稱為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者，則 是這種傳染病的平均傳染期.1.模型的假設

SIS模型的假設條件(1)、(2)與49

2.模型的建立與求解

考慮到假設(3)，SI模型的式(4.1)應修正為：

(4.6)

式(4.2)不變，于是式(4.3)應改為：

(4.7)

2.模型的建立與求解

考慮到假設(3)，SI模型的式50方程(4.7)的解可表示為：

(4.8)

方程(4.7)的解可表示為：

(513.模型的分析討論

定義

(4.9)

注意到λ和 的含義可知，σ是一個傳染期內每個病人的有效接觸的平均人數，稱接觸數，由式(4.8)和(4.9)容易得到，當t→∞時，

(4.10)

3.模型的分析討論

定義

(452根據式(4.8)~(4.10)可以畫出i(t)~t的圖形如圖4-2所示.

接觸數σ＝1是一個閾值，當σ≤1時病人比例i(t)越來越小，最終趨于零，這是由于傳染期內經有效接觸從而使健康者變為病人的人數不超過原來病人人數的緣故；當σ>1時，i(t)的增減性取決于i(0)的大小，但其極限值i(∞)＝1－1σ隨σ的增加而增加.

SI模型可視為本模型的特例.根據式(4.8)~(4.10)可以畫出i(t)~t的53

圖4-2圖4-2544.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設

大多數傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他們已經退出傳染系統.這種情況下的模型假設條件為：

(1)人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三種，稱SIR模型.三類人在總人數N中所占的比例分別為s(t)、i(t)和r(t)；

(2)病人的日接觸率為λ，日治愈率為μ，σ＝λ/μ.

4.3模型Ⅲ——SIR模型

1.模型的假設

大多數55

2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(t)＋i(t)＋r(t)＝1 (4.11)

根據條件(2)，方程(4.6)仍成立.對于病愈免疫的移出者而言，應有

(4.12)

再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0(>0)和i0(>0)(不妨設移出者的初始值r0＝0)，則由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以寫為：2.模型的建立與求解

由條件(1)，有

s(56

(4.13)

方程(4.13)無法求出s(t)和i(t)的解析解，我們轉到相平面s~i上來討論解的性質.相軌線的定義域(s，i)∈D應為：

D＝{(s，i)|s≥0，i≥0，s＋i≤1} (4.14)

(4.13)

方程(4.57在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得

(4.15)

容易求出方程(4.15)的解為：

(4.16)

則在定義域D內，相軌線如圖4-3所示.圖中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向.在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得

58

圖4-3圖4-3593.模型的分析討論

下面根據式(4.13)、(4.16)和圖4-3分析t→∞時s(t)、i(t)和r(t)的變化情況(它們的極限值分別記作s∞，i∞和r∞).

(1)首先，由式(5.4.13)，

，而s(t)≥0，故s∞存在；由式(5.4.12)知，

，而r(t)≤1，故r∞存在；再由式(5.4.11)知i∞存在.

3.模型的分析討論

下面根據式(4.13)、(4.16)60其次，若i∞＝ε>0，則由式(4.12)，對于充分大的t，有

，這將導致r∞＝∞，與r∞存在相矛盾.故不論初始條件s0，i0如何，病人終將消失，即

i∞＝0 (4.17)

從圖4-3上看，不論相軌線從p1或從p2出發，它終將與s軸相交.其次，若i∞＝ε>0，則由式(4.12)，對于充分大的t61(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(4.16)中令i＝0，得到s∞是方程

(4.18)

在 內的單根，在圖4-3中s∞是相軌線

與s軸在內交點的橫坐標.

(2)最終未被感染的健康者比例是s∞，在式(4.16)中62(3)若

，則i(t)先增加，當

時，i(t)達到最大值

然后i(t)減小且趨于零，s(t)則單調減小至s∞.

(3)若 ，則i(t)先增加，當 時，i(t)達到最63

(4)若

，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調減小至s∞.

可以看出，如果僅當病人比例i(t)有一段增長的時期才認為傳染病在蔓延，那么 是一個閾值，當

時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數σ，即提高閾值，使得

，傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可認為s0≈1)，我們注意到在

中，人們的衛生水平越高，日接觸率λ越小，醫療水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高衛生水平和醫療水平有助于控制傳染病的蔓延.(4)若 ，則i(t)減小且趨于零，s(t)則單調減小64從另一方面看，

是傳染期內一個病人傳染的健康者的平均數，稱為交換數，其含義是一個病人被σs個健康者交換.所以當

，即σs0≤1時，必有σs≤1.既然交換數不超過1，病人比例i(t)絕不會增加，傳染病就不會蔓延.

從另一方面看， 是傳染期內一個病人傳染的健康者的平均數65我們看到在SIR模型中接觸數σ是一個重要參數.σ可以由實際數據估計，因為病人比例的初始值i0通常很小，在式(4.18)中略去i0可得

(4.19)

于是當傳染病結束而獲得s0和s∞以后，由式(4.19)能算出σ.另外，對血樣作免疫檢驗也可以根據對檢驗無反應和有反應，估計出s0和s∞，然后計算σ.我們看到在SIR模型中接觸數σ是一個重要參數.σ可以由實66

4.模型驗證

本世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了.死亡相當于移出傳染系統，有關部門記錄了每天移出者的人數，依此實際數據，Kermack等人用這組數據對SIR模型作了驗證.

首先，由方程(4.11)、(4.13)可以得到

(4.20)

(4.21)4.模型驗證

本世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫中幾乎67當

時，取式(4.21)右端e－σr泰勒展開的前3項，在初始值