2022-2023學年內蒙古自治區包頭市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.A.A.較高階的無窮小量B.等價無窮小量C.同階但不等價無窮小量D.較低階的無窮小量

2.

A.絕對收斂

B.條件收斂

C.發散

D.收斂性不能判定

3.∫cos3xdx=A.A.3sin3x+CB.-3sin3x+CC.(1/3)sin3x+CD.-(1/3)sin3x+C

4.

A.arcsinb－arcsina

B.

C.arcsinx

D.0

5.設f(x)=e3x，則在x=0處的二階導數f"(0)=A.A.3B.6C.9D.9e

6.設有直線當直線l1與l2平行時，λ等于()．

A.1B.0C.-1/2D.-1

7.

8.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

9.

10.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

11.點(-1，-2，-5)關于yOz平面的對稱點是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)12.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面

13.設f(x)的一個原函數為x2，則f'(x)等于()．

A.

B.x2

C.2x

D.2

14.A.沒有漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近線，又有鉛直漸近線

15.

16.()A.A.條件收斂

B.絕對收斂

C.發散

D.收斂性與k有關

17.若，則下列命題中正確的有()。A.

B.

C.

D.

18.

19.

20.

21.

22.

23.設()．A.A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與a有關D.上述三個結論都不正確

24.

25.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e

26.

27.設y=sinx，則y'|x=0等于()．A.1B.0C.-1D.-2

28.

29.

30.

31.過點（0，2，4)且平行于平面x+2z=1，y-3z=2的直線方程為

A.

B.

C.

D.-2x+3(y-2)+z-4=0

32.A.A.

B.

C.

D.

33.

34.由曲線，直線y=x，x=2所圍面積為

A.

B.

C.

D.

35.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

36.設f(x)=x3+x，則等于()。A.0

B.8

C.

D.

37.設函數f(x)=則f(x)在x=0處()A.可導B.連續但不可導C.不連續D.無定義38.函數y=ln(1+x2)的單調增加區間是()。A.(-5，5)B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)39.A.A.sin(x－1)＋C

B.－sin(x－1)＋C

C.sinx＋C&nbsbr;

D.－sinx＋C

40.如圖所示兩楔形塊A、B自重不計，二者接觸面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直線的兩個力的作用，則()。

A.A平衡，B不平衡B.A不平衡，B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡

41.

42.設函數f(x)=2sinx，則f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．

43.

44.

45.A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與口有關46.A.A.0

B.

C.arctanx

D.

47.A.A.1

B.1/m2

C.m

D.m2

48.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

49.

50.曲線y=x2+5x+4在點(-1，0)處切線的斜率為

A.2B.-2C.3D.-3二、填空題(20題)51.微分方程y''+y=0的通解是______.52.53.

54.

55.

56.

57.二階常系數線性微分方程y-4y＋4y=0的通解為__________．

58.

59.

60.61.設z=ln(x2+y)，則全微分dz=__________。62.63.

64.

65.∫e-3xdx=__________。

66.

67.

68.69.設Ф(x)=∫0xln(1+t)dt，則Ф"(x)=________。70.三、計算題(20題)71.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．72.

73.

74.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

75.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

76.證明：77.求微分方程的通解．78.求曲線在點(1，3)處的切線方程．79.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．80.81.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．82.

83.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．84.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

85.

86.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

87.

88.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

89.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

90.四、解答題(10題)91.

92.

93.

94.(本題滿分10分)

95.96.設函數f(x)=x3-3x2-9x，求f(x)的極大值。97.

98.設y=x2+2x，求y'。

99.

100.五、高等數學(0題)101.求方程y一3y+2y=0的通解。

六、解答題(0題)102.(本題滿分10分)求由曲線y=x，y=lnx及y=0，y=1圍成的平面圖形的面積S及此平面圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體體積．

參考答案

1.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

2.A

3.C

4.D

本題考查的知識點為定積分的性質．

故應選D．

5.Cf(x)=e3x，f'(x)=3e3x，f"(x)=9e3x，f"(0)=9，因此選C。

6.C解析：

7.C

8.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

9.B

10.C

11.D關于yOz平面對稱的兩點的橫坐標互為相反數，故選D。

12.B對照二次曲面的標準方程可知，所給曲面為錐面，因此選B．

13.D解析：本題考查的知識點為原函數的概念．

由于x2為f(x)的原函數，因此

f(x)=(x2)'=2x，

因此

f'(x)=2．

可知應選D．

14.D

15.D

16.A

17.B本題考查的知識點為級數收斂性的定義。

18.C

19.D

20.D

21.D

22.C

23.D

24.D解析：

25.C

26.A解析：

27.A由于

可知應選A．

28.A

29.B

30.B解析：

31.C

32.B

33.D

34.B

35.C

36.A本題考查的知識點為定積分的對稱性質。由于所給定積分的積分區間為對稱區間，被積函數f(x)=x3+x為連續的奇函數。由定積分的對稱性質可知

可知應選A。

37.A因為f"(x)=故選A。

38.C本題考查的知識點為判定函數的單調性。

y=ln(1+x2)的定義域為(-∞，+∞)。

當x＞0時，y'＞0，y為單調增加函數，

當x＜0時，y'＜0，y為單調減少函數。

可知函數y=ln(1+x2)的單調增加區間是(0，+∞)，故應選C。

39.A本題考查的知識點為不定積分運算．

可知應選A．

40.C

41.A

42.B本題考查的知識點為導數的運算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知應選B．

43.A

44.D

45.A

46.A

47.D本題考查的知識點為重要極限公式或等價無窮小代換．

解法1由可知

解法2當x→0時，sinx～x，sinmx～mx，因此

48.C

49.C

50.C解析：51.y=C1cosx+C2sinx微分方程y''+y=0的特征方程是r2+1=0，故特征根為r=±i，所以方程的通解為y=C1cosx+C2sinx.

52.

53.

54.(03)(0,3)解析：

55.1/456.本題考查的知識點為重要極限公式。

57.

58.

59.22解析：

60.

61.62.063.2．

本題考查的知識點為二次積分的計算．

由相應的二重積分的幾何意義可知，所給二次積分的值等于長為1，寬為2的矩形的面積值，故為2．或由二次積分計算可知

64.-2sin2-2sin2解析：

65.-(1/3)e-3x+C

66.

本題考查的知識點為函數商的求導運算．

考生只需熟記導數運算的法則

67.11解析：

68.69.用變上限積分公式(∫0xf(t)dt)"=f(x)，則Ф"(x)=ln(1+x)，Ф"(x)=。

70.本題考查的知識點為定積分計算．

可以利用變量替換，令u=2x，則du=2dx，當x=0時，a=0；當x=1時，u=2．因此

或利用湊微分法

本題中考生常在最后由于粗心而出現錯誤．如

這里中丟掉第二項．

71.

72.

則

73.

74.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

75.

76.

77.78.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

79.由二重積分物理意義知

80.

81.82.由一階線性微分方程通解公式有

83.

84.由等價無窮小量的定義可知

85.

86.函數的定義域為

注意

87.

88.

列表：

說明

89.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

90.

91.

92.

93.

94.本題考查的知識點為求解二階線性常系數非齊次微分方程．

相應的齊次微分方程為

代入原方程可得

原方程的通解為

【解題指導】

由二階線性常系數非齊次微分方程解的結構定理可知，其通解y＝相應齊次方程的通解Y