機械模態分析理論基礎假設：系統是線性、定常與穩定的線性時不變系統線性：描述系統振動的微分方程為線性方程，其響應對激勵具有疊加性;定常：振動系統的動態特性（如質量、阻尼、剛度等）不隨時間變化，即具有頻率保持性;如系統受簡諧激勵-響應的頻率必定與激勵一致。穩定：系統對有限激勵必將產生一個有限響應，即系統滿足傅氏變換和拉氏變換的條件。振動系統分類： 空間角度：離散（有限自由度）系統和連續（無限自由度）系統 時間角度：連續時間系統和離散時間系統連續模擬信號--離散數字信號研究步驟：（1）建立結構的物理參數模型（以質量、阻尼、剛度為參數的關于位移的振動微分方程）（2）研究其特征值問題，求得特征值和特征矢量，得到結構的模態參數模型（模態頻率、模態矢量、模態阻尼比、模態質量、模態阻尼、模態剛度等參數）。正則化，解耦。（3）通過研究受迫動力響應問題，可得到系統的非參數模型（頻響函數和脈沖響應函數）。頻響函數和脈沖響應函數是試驗模態分析系統識別模態參數的基礎。根據阻尼模型的不同，分為： 無阻尼系統、比例阻尼系統、結構阻尼系統、粘性阻尼系統單自由度系統的振動粘性阻尼系統的振動微分方程：自由振動：正則形式：其中：：衰減系數（衰減指數）；：無阻尼固有頻率（固有頻率）引入阻尼比（無量綱阻尼系數）：運動微分方程可寫成： 特解為：，為方程的特征值，因此： 為使系統有非零解，很顯然： 因此可得到的解為： 式中：成為阻尼固有頻率。當：>1（），過阻尼，系統不產生振動；當：=1（），過阻尼，系統不產生振動；當：<1（），過阻尼，系統不產生振動。可見，特征值實部代表系統的衰減系數；虛部代表系統的阻尼固有頻率。在振動理論中，特征值稱為復頻率。方程的通解（自由振動響應）為：其中，A和取決于系統的初始條件。當t=0時，。 傳遞函數、頻響函數對于簡諧激勵：，其穩態響應：h(t)單位脈沖外力下的響應函數(簡稱為脈沖響應函數)，時域內反映系統的動態特性： H(ω)機械導納，反映系統對不同頻率的激勵的傳遞放大特性，反映系統易受振動。頻域內反映系統的動態特性 對于單自由度粘性阻尼振動系統，通過拉氏變換和傅氏變換可得到： 所以，位移頻響函數為： 速度頻響函數為：加速度頻響函數為：頻響函數的倒數成為阻抗。單位脈沖響應函數（簡稱為脈沖響應函數）：振動系統中單位脈沖力作用下的自由響應。單位脈沖力是指：脈沖量為1，作用時間無限短的瞬時力：質點受到單位脈沖力作用后獲得的動量為：，則自由振動的初始條件就為：可得到系統的自由振動響應：就是脈沖響應函數。很容易證明頻響函數和脈沖響應函數是一對傅氏變換對： 簡諧激勵結構在簡諧激勵下的穩態響應也是同頻率的簡諧振動。但有相位差。工程中，應變常常是非常重要的，而且易于測量。應變片體積小、質量小、成分低，對試驗結構影響很小。而且由應變可計算得到應力，工程中常常通過測量得到應變模態。周期性激勵周期性激勵可通過傅立葉級數展開成各階諧波的疊加。響應也是由對應激勵的各階諧波頻率成分組成。瞬態激勵激勵和響應都是非周期信號。但是對于絕對可積的函數，可應用傅立葉變換得到激勵和響應的頻率域函數：因此，隨機激勵為非確定性的激勵，無法用一個明確的函數來描述，不絕對可積，不能對激勵和響應進行傅立葉變換，只能用概率統計的方法來處理。在時間域：相關函數在頻率域：功率譜密度函數很顯然，無法描述輸入和輸出的統計特性。做進一步推導：1）2）相干函數可以檢驗系統的非線性程度，如測量對象在某處聯接存在松動等非線性情況，系統非線性等。當輸入和輸出存在噪聲，也會使相干函數下降。輸入存在噪聲，會使估計的頻響函數偏小；輸出存在噪聲，會使估計的頻響函數偏大；還可用下面一些估計方法：（3）模態試驗技術 1）工作模態：相同激勵，同時測量響應。（未考慮激勵，無法量化） 2）自由模態：測量激勵和響應。（單點激勵法、多點激勵法） 試驗系統：激勵裝置和激勵傳感器響應傳感器分析處理 激勵方法：錘擊法作動器、激振器（正弦激勵、正弦掃描激勵、階躍松弛激勵、隨機激勵、白噪聲激勵）4、模態參數識別 （1）單自由度系統對于粘性阻尼系統，傳遞函數為： 其中，頻率比實際金屬結構，常常不完全能用粘性阻尼來描述衰減特性，實際結構的阻尼主要來源于金屬材料本身的內部摩擦（內耗）及各部件連接界面（如螺釘、襯墊）相對滑移（干摩擦）。它們消耗的能量與振幅的平方成正比。其阻尼成為結構阻尼。結構阻尼產生的阻尼力：其中，：結構阻尼比（損耗因子），引入結構阻尼系數：。結構阻尼力的大小與位移成正比，方向與速度相反的一種阻尼力。因此具有結構阻尼特性的單自由度振動系統運動微分方程為： 是一個圓的方程。通過試驗可求得系統的頻響函數，利用上述頻響函數的特征可以識別系統的特征參數：固有頻率、阻尼特性、模態振型等。（2）多自由度系統實際結構一個連續體，是復雜無限自由度系統。絕大多數振動結構可離散成為有限個自由度的多自由度系統。對于一個有n個自由度的振動系統，需用n個獨立的物理坐標來描述其物理參數模型。在線性范圍內，物理坐標系的自由振動響應為n個主振動的線性疊加。每個主振動都是一種特定形態的自由振動，振動頻率即為系統的主頻率（固有頻率），振動形態即為系統的主振型（模態或固有振型）。多自由度系統的慣性、彈性和阻尼都是耦合的，剛度和阻尼矩陣是非對角化的矩陣，很難求解！微分方程解耦（矩陣對角化）！求特征值和特征向量，在結構中就是將系統轉化到模態坐標，使系統解耦。F:激勵向量；X:響應向量。M、C、K分別為質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。拉氏變換：用替代s，進入傅氏域內處理：對于線性不變系統，系統的任何一點的響應均可以表示成各階模態響應的線性組合：式中：為r階模態坐標；為l測點的r階模態振型系數。對于N個測點，各階振型系數可組成列向量，稱為r階模態振型。各階模態向量組成模態矩陣：物理意義：各階模態對響應的貢獻量。，為模態坐標。對于無阻尼自由振動系統對于r階模態： 左乘，得到：對于s階模態： 右乘，得到：兩式相減，可以得到： 當r<>s時， 當r=s時， 令：， 分別稱為模態剛度和模態質量。我們再引入比例阻尼和對應的模態阻尼，因此有：用模態坐標替代物理坐標后，可見，剛度、質量、阻尼矩陣都已經對角化了，即解耦了。對應r階有：模態試驗時，我們測得p點激勵，l點響應： 模態力為： 由上面可得： 所以，l點和p點間的頻響函數： 令，為等效模態剛度 其中，為r階模態頻率比；為r階模態阻尼比。注意：上述討論適合無阻尼、比例阻尼，剛度矩陣和阻尼矩陣是對稱的，稱為實模態矩陣。對于小阻尼系統也還是適用的。而對于大阻尼系統，需要采用復模態來進行分析。6、模態參數識別的方法（1）頻域模態參數識別法：單模態識別法、多模態識別法 1）最小二乘導納圓擬合法（單模態） 2）差分法（單模態） 3）非線性加權最小二乘法（多模態） 4）直接偏導數法（多模態） 5）Levy法（多模態） 6）正交多項式擬合法 7）分區模態綜合法（2）時域模態參數識別法 1）隨機減量法 2）ITD法 3）最小二乘復指數法（LSCE） 4）ARMA時序分析法結構動力修改 模態分析的目的是了解系統的動態特性。在已知結構動態特性參數后，我們應該尋求改進系統動態特性的方法。有兩種情況：由于制造和設計原因，不得不對現有結構進行局部修改。如：共振？局部疲勞破壞？振動噪聲大異常等?是否可以根據目前系統來尋求結構的優化，改進系統的動態特性！由于原結構動態特性不理想，需要修改。如：要在系統中加/減一個附件？是否可以根據目前系統推知和預測修改后系統的模態特性參數！靈敏度分析對于結構動態特性靈敏度分析，從靈敏度的基本概念出發：一階微分靈敏度：一階差分靈敏度：結構動特性靈敏度是指：特征參數（特征值、特征向量）對結構參數（質量、剛度、阻尼）的改變率。也就是單位結構參數的變化產生的特征參數變化量。對于無阻尼模態系統：上式對參數pm求導：兩邊同乘以，簡化后可以得到：其中，pm可以是mij質量或kij剛度物理參數。，i<>j*質量增加使固有頻率降低！，i<>j*增加對地剛度，使固有頻率增加！從固有頻率的靈敏度計算公式可以得到：對某階固有頻率，該階模態振型中變形較大的部位是敏感部位，改變這些部位的物理參數，將獲得較大的固有頻率的改變。某部位的質量或剛度的改變，對不同階模態的固有頻率的影響程度是不同的。質量的改變對高階固有頻率的影響較大；剛度改變對低階固有頻率的影響較大。同樣可推導得到特征向量的靈敏度：

結論：某階模態向量振型靈敏度是各階模態矢量的線性組合。所以，需要有完備的模態振型。一般，越接近該階模態的權重越大。修改質量對高階模態振型的影響大，修改剛度對低階模態振型的影響大。無論何種靈敏度，當修改振型較大部位的質量、剛度時，對該階振型影響大都比較大。對于復模態： 結構動力修改1）“正問題”:當系統結構參數做修改時，根據其改變量、、，求修改后的系統動力特性、。2）“反問題”：通過某些結構參數的改變，使系統的動力特性參數，如固有頻率、模態振型滿足預定的要求，或避開（或落入）某個范圍。已知、，求、、。FEM:有限元模態（理論模態,FiniteElementMethod）EMA：試驗模態分析（ExperimentalModalAnalysis） 通常認為：FEM計算結果存在誤差，而EMA的結果是準確的。然而，做FEM計算比做EMA要簡單得多，特別是在修改結構時，能夠方便地預測修改后結構的各種動態特性。為了有效地利用FEM這一強有力的工具，可以使用EMA結果對FEM模型進行修正，以得到準確的FEM模型，即所謂的綜合建模問題。實際上是調整模型的結構參數，使之更加合理，更加接近實際，更加接近試驗模態的結果。 一般，FEM模型的自由度要比EMA模型自由度要多得多。一般遵循能量等效原則，采取自由度縮減或物理參數矩陣的縮聚。EMA試驗模態分析為基礎的結構動力修改解決方案：特征靈敏度法：通過靈敏度分析，已經得到了固有頻率和模態振型相對于質量、剛度、阻尼的靈敏度。運用多元函數的泰勒級數展開，當修改量為小量時，并忽略二階以上的小量。靈敏度法僅適合結構小量修改，當修改量比較大時，可采用分成若干步，每步為小量的修改方法，提高修改得到的精度。矩陣攝動法當系統有物理參數的變化、、后：做模態坐標變換：解方程，求特征值和特征向量。因此修改后系統的固有頻率為，特征向量為模態測試系統測試系統負責將被測物理量采集下來，轉換成某種信號，經過前置放大器和微積分變換，變成可供分析儀器使用的電壓信號。對于試驗模態分析測試系統中，傳感器主要有響應振動量（位移、速度、加速度）測量傳感器，激勵力傳感器。從力學原理上，振動傳感器又可分為絕對式傳感器和相對式傳感器。絕對式傳感器測量振動物體的絕對運動，這時需將振動傳感器基座固定在振動體待測點上。絕對式振動傳感器的主要力學組件是一個慣性質量塊和支承彈簧，質量塊經彈簧與傳感器基座相連，在一定頻率范圍內，質量塊相對基座的運動（位移、速度和加速度）與作為基礎的振動物體的振動（位移、速度、加速度）成正比，傳感器敏感組件再把質量塊與基座的相對運動轉變為與之成正比的電信號，從而實現絕對式振動測量。相對式傳感器測量振動體待測點與固定基準的相對運動，這時，由傳感器敏感組件直接將此相對運動（即振動體的運動）轉變為電信號。相對式傳感器又可分為接觸式和非接觸式兩種。實際上，有時（如振動體在空間宏觀移動）很難建立一個測量的固定基準，另外，從現場振動測量的便利條件和應用方便而言，使用得最多的是絕對式傳感器。但在某些場合，無法或不允許將傳感器直接固定在試件上（如旋轉軸、輕小結構件等），必須采用相對式傳感器。從電學原理上，根據所采用的將力學量轉變為電學量的傳感器敏感組件的性質，振動傳感器又可分為電感型、電動型、電渦流型、壓電型等。振動傳感器的技術性能主要有：頻率特性：包括幅頻特性和相頻特性。靈敏度：電信號輸出與被測振動輸入之比。動態范圍：可測量的最大振動量與最小振動量之比。幅值線性度：理論上在測量頻率范圍內傳感器靈敏度應為常數，即輸出信號與被測振動成正比。實際上傳感器只在一定幅值范圍保持線性特性，偏離比例常數的范圍稱為非線性，在規定線性度內可測幅值范圍稱為線性范圍。橫向靈敏度：實際傳感器除了感受測量主軸方向的振動，對于垂直于主軸方向的橫向振動也會產生輸出信號。橫向靈敏度通常用主軸靈敏度的百分比來表示。從使用觀點看，橫向靈敏度越小越好，一般要求小于3%～5%。目前使用較多的相對式位移傳感器為電渦流傳感器，它的特點是結構簡單，靈敏度高，線性好，頻率范圍寬（0～10kHz），抗干擾性強，因此廣泛應用于非接觸式振動位移測量，尤其是大量應用大型旋轉機械上監測軸系的徑向振動和軸向振動。速度傳感器應用較廣的是電動式速度傳感器，它又分為相對式和絕對式。這種傳感器的靈敏度比較高，特別是在幾百Hz以下的頻率范圍內，它的輸出電壓較大。此外，它的線圈阻抗較低，因而對與它相配的測量儀器的輸入阻抗、連接電線的長度及質量要求都較低。通過電子線路的微分或積分可獲得振動的加速度值和位移值。用于測量振動加速度最多的是壓電式加速度傳感器，又稱加速度傳感器或加速度計。加速度計是一種壓電換能器，它能把振動或沖擊的加速度轉換成與之成正比的電壓（或電荷）。加速度計具有體積小、重量輕、頻響寬、耐高溫、穩定性好及無須參考位置等優點，由于它的脈沖響應優異，更適合于沖擊的測量。加速度計的頻率響應曲線壓電材料是鋯鈦酸鉛加速度計靈敏度每年約降低1-5%，因此，為保持測量精度最好每年校準一次。重量比較輕的加速度計，工作頻率高，最大可測加速度值大，但靈敏度低。反之，比較重的加速度計，靈敏度高，但工作頻率低，最大可測加速度值小。力傳感器： 壓電式力傳感器：利用壓電效應，將壓力變化轉化成電荷量的變化，再經過電荷放大器轉化成電壓信號。 壓電式加速度傳感器：結構型式：中心壓縮型、三角剪切型屬于接觸式傳感器，應盡量與試驗結構固定連接好。正確地將加速度計安裝到被測振動物體上是很重要的。要求加速度計和被測物體之間的安裝表面平直光滑，機械連接越緊密牢固，其使用的上限頻率越高。我們可以用螺栓、磁性夾頭、膠粘等方法來安裝測試時應將電纜線固定，以防止由于電纜屏蔽層和絕緣材料間的磨擦產生電荷而在指示儀表輸入端引起噪聲。加速度計安裝方法 壓電式傳感器的原理模態試驗：測量激勵和響應，得到頻響函數，通過模態參數識別得到固有頻率和模態振型。激勵方法：激振器信號發生器—功率放大——>激振器，產生作用力到結構上！——》加速度傳感器，測量結構的響應——》電荷放大器——》A/D采集——》信號分析、模態分析處理處理軟件一般采用電動力式激振器：磁鐵1、鐵芯2、頂桿5、芯桿6、線圈7、環形氣隙4、彈簧8、外殼9、磁極3等組成沖擊法沖擊錘是PCB和辛辛那提1972年聯合發明的，1983年獲得美國工業發明IR-100獎。組成：錘體1、力傳感器2、錘帽3、錘柄4、附加質量5錘帽在沖擊試驗過程中直接與試驗對象接觸。一般有鋼、鋁、尼龍、橡膠等不同硬度的材料制造而成。輸入能量：與錘的質量有關，一般質量越大，相同沖擊速度下，沖擊能量大。頻帶寬度可增大。錘擊法模態試驗需要注意的幾個問題：鑒別實驗結構的非線性程度。用不同力度激勵，測量兩點頻率響應函數，如果相差不大，說明結構的非線性現象不嚴重。選擇合適的沖擊錘力脈沖的寬度不宜太小，應至少采集到力脈沖波形的4個有效數據點。盡可能提高激勵能量，以提高信噪比。選擇合適的激勵點盡量不要布置在模態節點位置。應盡量布置在剛度較大的部位敲擊間隔時間每次激發的速度盡量相同每次激發要確保前次激發的響應已經變為零。防止信號過載：傳感器、電荷放大器、信號采集器都有可能出現過載。力傳感器和錘帽的影響。自由模態，構件的懸吊要注意。構件變形，附加剛度、附加約束等。模態分析在實際工程中應用